236. В Национальном музее ИХ, расположенном в Дублине, специальная установка генерирует искусственный дождь. Назовите ИХ.

#чгк

​237. В ряд выложено 100 монет. Внешне все монеты одинаковы, но где-то среди них лежат 50 подряд фальшивых (остальные - настоящие). Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые могут весить по-разному, но каждая фальшивая легче настоящей. Можно ли с помощью одного взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы 34 настоящие монеты?

#олмат
#8класс
#взвешивания

​238. Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и записал каждое из них красным или синим карандашом (каждый цвет присутствует). Могла ли сумма НОК всех красных чисел и НОК всех синих чисел заканчиваться на 2016? НОК - это наименьшее общее кратное набора натуральных чисел, то есть наименьшее натуральное число, которое делится на все числа этого набора.

#олмат
#тч
#8класс

239. Сумма двух чисел равна сумме их квадратов. Докажите, что сумма этих чисел не превосходит 2.

#олмат
#алгебра
#8класс

​240. Можно ли за каждую цифру от 0 до 9 назначить цену так, чтобы все 10 цен были различны и нашлись 20 идущих подряд натуральных чисел, каждое из которых, кроме первого, стоит дороже предыдущего? Цена натурального числа - это сумма цен цифр, из которого оно состоит.

#олмат
#8класс

241. Даша Кубликова придумала теорему: n²+n+41 -- простое при каждом натуральном n. Права ли Даша?

#олмат
#тч

242. Известно, что a³+b³+c³ кратно 7. Верно ли, что abc кратно 7?

#олмат
#тч

243. Дан произвольный граф. Надо расставить в его вершинах целые числа так, чтобы выполнялись два условия:
1) если две вершины соединены ребром, то числа в них имеют общий делитель;
2) если две вершины не соединены ребром, то числа в них взаимно просты.
Всегда ли можно так сделать?

#олмат
#графы

244. Темные эльфы всегда лгут, а светлые говорят правду. Внешне они неотличимы. Эльфы знают все языки, но говорят только по-эльфийски. Мы знаем, что "Эльк" и "Фьюй" означают "Да" и "Нет", но какое что -- неизвестно. Какой вопрос надо задать, чтобы определить светлый перед вами эльф или темный? (Вопрос должен подразумевать ответ "Да" или "Нет")

#олмат
#логика

245. На полях шахматной доски расставлены целые числа, причем никакое число не встречается дважды. Докажите, что есть пара соседних (по стороне) клеток, числа в которых отличаются не меньше, чем на 5.

#олмат
#9класс

​246. Между журналистом и знаменитым в прошлом тренером "Манчестер Юнайтед" Сэром Алексом Фергюссоном произошёл следующий диалог:
- Кто по вашему мнению является лучшим игроком на планете?
- Конечно же Криштиану Роналду.
- А как же Лионель Месси?
Что ответил Сэр Алекс?

#чгк

​​247. Между городами страны организованы двусторонние беспосадочные авиарейсы таким образом, что от каждого города до каждого другого можно добраться (возможно, с пересадками). Более того, для каждого города А, существует город B такой, что любой из остальных городов напрямую соединён либо с А, либо с B. Докажите, что от любого города добраться до любого другого не более, чем с двумя пересадками.

#олмат
#графы
#8класс

248. Докажите, что число 0,10100100010000... иррационально.

#олмат
#тч

​249. Докажите, что график кубического многочлена f(x)=ax³+bx²+cx+d (a≠0) имеет центр симметрии.

#олмат
#10класс

250. Двое играют на шахматной доске 8×8. Первый -- ставит на любую клетку пешку. Далее они по очереди ее двигают на любую соседнюю клетку по вертикали или горизонтали, причем нельзя ставить пешку на поле, где она уже побывала. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто выиграет при правильной игре -- первый или второй?

#олмат
#матигры

251. При каком N существует замкнутая N-звенная ломаная, которая пересекает себя по каждому звену ровно в одной точке? (пересечение не может происходить в концах звеньев и никакие 3 звена не пересекаются в одной точке)

#олмат
#8класс

252. Верно ли, что сумма цифр числа 3²⁰⁰ меньше 1000?

#олмат
#8класс

253. Перед входом в библиотеку стоят две доски. При входе в библиотеку человек считает сколько народу внутри и пишет на первой доске число. При выходе человек тоже считает сколько народу внутри и пишет число на второй доске. Докажите, что к закрытию библиотеки множества чисел на досках будут совпадать.

#олмат
#9класс

254. Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек — обозначим их A, B и C, после чего на плоскости отмечалась точка D, симметричная A относительно серединного перпендикуляра к BC. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.

#олмат
#геометрия
#инвариант
#8класс