220. Докажите, что число способов расставить максимальное количество слонов на шахматную доску, что никакие два не бьют друг друга - квадрат натурального числа.

#олмат
#комбинаторика
#8класс

221. В таблице n×m расставлены произвольные числа. Разрешается менять знаки у всех чисел в любой строке или в любом столбце. Докажите, что можно за несколько операций добиться того, что суммы чисел в каждой строке и в каждом столбце будут неотрицательны.

#олмат
#полуинвариант
#8класс

222. Может ли горящая в комнате свеча не освещать полностью ни одну из стен, если в комнате
а) 10 стен
б) 6 стен?

#олмат
#геом

​223. Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.

#олмат
#геометрия
#инвариант
#10класс

224. Глеб Пособин пишет подряд натуральные числа: 123456789101112... На каких местах, считая от начала, будут впервые стоять пять цифр 5 подряд?

#олмат
#8класс

225. В клетки таблицы 3×3 расставили натуральные числа от 1 до 9. Затем посчитали сумму чисел в каждой строке. Какое наибольшее количество этих сумм могло оказаться точными квадратами?

#олмат
#7класс
#оценкаплюспример

​​226. Мат в 3 хода за белых.

#шахматы

227. У Ларика 13 долгов по зачетам и 16 долгов по экзаменам. За раз ларик закрывает два долга. Причем если он закрывает два долга по зачетам или два долга по экзаменам, то появляется долг по экзамену, а если он закрывает долг по зачету и долг по экзамену, то появляется долг по зачету. В итоге остался один долг, какой?

#олмат
#лариквнашихсердцах

228. Цифровой корень натурального числа получается следующим образом. Складываются все цифры данного числа. Процесс повторяется, пока в результате не будет получено однозначное число, которое и называется цифровым корнем числа. Докажите, что цифровой корень произведения двух простых чисел-близнецов (кроме (3,5)) равен 8.

#олмат
#тч

229. Ава Гарднер и Фрэнк Синатра влюбились друг в друга с первого взгляда. Журналисты образно пишут, что эффект их первой встречи был достаточным, чтобы СДЕЛАТЬ ЭТО. Вудро Вильсон СДЕЛАЛ ЭТО с помощью телеграфного ключа. Какие четыре слова мы обозначили словами "СДЕЛАТЬ ЭТО"?

#чгк

230. Даша Донец пошла с Эдиком в тир. Уговор был такой: Даша делает 5 выстрелов и за каждое попадание получает право еще на два выстрела. Всего Даша выстрелила 25 раз. Сколько раз она попала?

#олмат
#6класс

231. Сумма нескольких чисел равна 1. Может ли сумма их квадратов быть меньше 0.000001?

#олмат

​​232. Выиграть за белых.

#шахматы

233. Пятеро спортсменов в красных футболках бегут слева направо, а пятеро в синих футболках - справа налево. Когда спортсмен добегает до конца, он разворачивается и бежит в обратную сторону. Скорости всех спортсменов различны и находятся в промежутке от 9 до 12 километров в час (не включительно). Когда встречаются два спортсмена в красных и синих футболках, тренер ставит галочку в своём блокноте. Будем считать, что никакие 3 спортсмена не могут встретиться в один момент. Сколько галочек будет в блокноте у тренера к тому моменту, как самый быстрый спортсмен закончит свой бег?

#олмат
#8класс

234. Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников так, чтобы у соседних прямоугольников стороны не совпадали.

#олмат
#геом
#разрезания

235. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 записали по кругу в некотором порядке. Назовем записанное число хорошим, если оно равно сумме двух чисел, записанных рядом с ним. Каково наибольшее возможное количество хороших чисел среди записанных?

#олмат
#оценкаплюспример
#8класс

236. В Национальном музее ИХ, расположенном в Дублине, специальная установка генерирует искусственный дождь. Назовите ИХ.

#чгк

​237. В ряд выложено 100 монет. Внешне все монеты одинаковы, но где-то среди них лежат 50 подряд фальшивых (остальные - настоящие). Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые могут весить по-разному, но каждая фальшивая легче настоящей. Можно ли с помощью одного взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы 34 настоящие монеты?

#олмат
#8класс
#взвешивания

​238. Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и записал каждое из них красным или синим карандашом (каждый цвет присутствует). Могла ли сумма НОК всех красных чисел и НОК всех синих чисел заканчиваться на 2016? НОК - это наименьшее общее кратное набора натуральных чисел, то есть наименьшее натуральное число, которое делится на все числа этого набора.

#олмат
#тч
#8класс

239. Сумма двух чисел равна сумме их квадратов. Докажите, что сумма этих чисел не превосходит 2.

#олмат
#алгебра
#8класс

​240. Можно ли за каждую цифру от 0 до 9 назначить цену так, чтобы все 10 цен были различны и нашлись 20 идущих подряд натуральных чисел, каждое из которых, кроме первого, стоит дороже предыдущего? Цена натурального числа - это сумма цен цифр, из которого оно состоит.

#олмат
#8класс