103. Докажите, что ряд 1 +1/2 +1/3+1/4... расходится (т.е. эта бесконечная сумма больше любого наперед заданного числа).

#олмат
#11класс
#матан

104. Аня во дворе нашла 6 натуральных чисел и для каждых двух посчитала их НОД. У нее получились следующие 15 чисел: 1, 2, 3,.., 15. Не ошиблась ли Аня?

#олмат
#7класс
#тч

(Наверное самый популярный софизм в геометрии, который сломает вам мозг в 8 классе)
105. Докажем, что все треугольники являются равнобедренными.

#олмат
#геометрия

(Подъехала свежая задачка с турнира городов)
106. Существуют ли нецелые числа x и y, для которых {x}*{y}={x+y}? (Здесь {х} - дробная часть числа x)

#олмат
#9класс
#алгебра

107. На острове рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут) каждого жителя спросили про каждого из остальных кто он: рыцарь или лжец. Всего было получено 56 ответов: 26 ответов -- "рыцарь" и 30 ответов -- "лжец". Сколько могло быть рыцарей на острове?

#олмат
#9класс
#логика

108. На одном плакате изображен бумажный кораблик, отражающийся в воде. В какой стране автор вопроса увидел этот плакат?

#чгк

109. Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек). Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

#олмат
#комбинаторика
#9класс

110. Первой в очереди из 100 человек стоит сумасшедшая старушка. У каждого пассажира в очереди, кроме старушки, есть билет, на котором написано его место. Первой в самолет заходит старушка и садится на случайное место (в самолете 100 мест). Далее пассажиры заходят по одному и садятся на свое место, если оно свободно, иначе садятся на случайное свободное. Какова вероятность того, что последний пассажир в очереди сядет на свое место?

#олмат
#тервер
#10класс

111. Какое наибольшее число следующих фигур можно расставить на шахматной доске так, чтобы никакие две друг друга не били:
а) коней; б) слонов; в) ладей; г) ферзей;
д) королей?

#олмат #8класс #шахматы
#оценкаплюспример
#бессмертнаяклассика

112. Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна и половина -- отрицательна. Каково наибольшое возможное количество положительных произведений?

#олмат
#11класс
#комбинаторика

113. В треугольнике АВС проведена медиана ВD. Оказалось, что сумма углов А и С равна углу ABD. Найдите, во сколько раз сторона BC длиннее медианы BD?

#олмат
#геом
#7класс

114. Замените в числе 453?92? знаки вопроса цифрами так, чтобы полученное число делилось на 45.

#олмат
#8класс
#делимость

115. Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 2017 девяток?

#олмат
#9класс
#тч

116. Какое наибольшее число следующих пешек можно расставить на шахматной доске так, чтобы никакие две друг друга не били:
а) белых; б) белых и черных?

#олмат #8класс
#шахматы
#оценкаплюспример

117. Муравей гуляет по рёбрам проволочного куба. Может ли он последовательно обойти все ребра куба, не проходя дважды по одному ребру?

#олмат
#8класс
#графы

(Парадокс Монти-Холла)
118. Предположим, что вы играете в следующую игру. Перед вами 3 двери. За одной из них машина, за остальными двумя - козы. Вам очень хотелось бы открыть дверь и забрать машину. Ваш друг открывает некоторую дверь, за ней оказывается коза. Он предлагает вам изменить выбор (выбрать оставшуюся из неоткрытых дверей). Имеет ли смысл это делать?

#олмат
#теорвер

119. Двое играют в игру на доске 1703×1703. Первый своим ходом закрашивает "уголок" (квадрат 2×2 с вырезанной клеткой), а второй квадрат 2×2. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто может обеспечить себе победу вне зависимости от ходов противника?

#олмат
#8класс
#матигры

120. Квадратный трехчлен f(x)=x^2+ax+b имеет два корня, один из которых лежит внутри отрезка [0;1], а другой вне этого отрезка. Определите знак f(b).

#олмат
#алгебра
#9класс

121. Возможна ли такая компания, в которой у каждого человека ровно 10 друзей, а у каждой пары человек ровно 4 общих друга?

#олмат
#комбинаторика
#9класс

122. В стаде пасётся 101 корова. Каждая из них весит целое число килограммов. Известно, что если выбрать любые 100 коров, то их можно разделить на две группы по 50 коров так, что суммарный вес коров в первой группе равен суммарному весу коров во второй. Докажите, что все коровы весят одинаково.

#олмат
#системауравнений
#тч
#11класс

123. Каждая из расположенных по кругу 12 ламп может находиться в одном из двух состояний: гореть или не гореть. За один ход можно изменить состояние любых трех ламп, расположенных подряд. Вначале горит только одна лампа. Можно ли добиться того, чтобы горели все 12 ламп?

#олмат
#можноилинет
#8класс