71. В ряд выложили несколько апельсинов, мандаринов, яблок и груш. Известно, что рядом с фруктом каждого вида можно найти фрукт любого другого вида. Какое наименьшее количество фруктов могло быть выложено?

#олмат
#7класс
#комбинаторика

72. Сумма расстояний от каждой внутренней точки выпуклого пятиугольника до всех прямых, содержащих его стороны, одна и та же. Верно ли, что этот пятиугольник обязательно является правильным?

#олмат
#геометрия
#10класс

73. На доске написаны числа: 1,2,3,4,5,6. Разрешается выбрать два любых числа и увеличить их на 1. Можно ли после нескольких таких операций получить шесть равных чисел?

#олмат
#7класс
#алгебра

74. Пусть в трехмерном пространстве задаётся некоторый граф. Всегда ли можно нарисовать на плоскости эквивалентный ему граф, у которого ребра не пересекаются?

#олмат
#графы
#10класс

Уважаемые подписчики!
На этих выходных мы решили вас помучить задачами на логику.

А начнем мы с классической задачи, которая у нас уже была, но теперь к ней есть подсказка и решение.

75. Альберт и Бернард только что познакомились с Шерил. Они хотят знать, когда у нее день рождения. Шерил предложила им десять возможных дат: 15 мая, 16 мая, 19 мая, 17 июня, 18 июня, 14 июля, 16 июля, 14 августа, 15 августа и 17 августа. Затем Шерил сказала Альберту месяц своего рождения, а Бернарду — день. После этого состоялся диалог:
Альберт: Я не знаю, когда у Шерил день рождения, но я знаю, что Бернард тоже не знает.
Бернард: Поначалу я не знал, когда у Шерил день рождения, но знаю теперь.
Альберт: Теперь я тоже знаю, когда у Шерил день рождения.

Когда у Шерил день рождения?

#олмат
#логика
#8класс

76. Путешественник вышел на дорогу, соединяющую город лжецов и город рыцарей. Он хочет узнать, в какой стороне каждый из городов. Какой вопрос нужно задать прохожему(не зная, рыцарь он или лжец), чтобы определить это?

#олмат
#логика
#7класс

77. За круглым столом сидят 30 человек -- рыцари и лжецы. Известно, что у каждого из них за этим же столом есть один друг, причем у рыцаря этот друг -- лжец, а у лжеца этот друг -- рыцарь (дружба всегда взаимна). Сколько человек могли ответить "Да" на вопрос "Сидит ли рядом с вами ваш друг?"?

#олмат
#логика
#7класс

78. Ваш друг загадал число 1, 2 или 3. Вы можете задать один вопрос, ответом на который будет "Да", "Нет" или "Не знаю". Какой вопрос следует задать вашему другу, чтобы наверняка отгадать его число?

#олмат
#логика
#8класс

79. Напротив вас две двери. За одной дверью - выход на свободу, за второй - бездонная пропасть. Перед каждой дверью стоит стражник. Вам известно, что один из них всегда говорит правду, а второй всегда лжёт. Как за один вопрос определить, за какой из дверей выход на свободу?

#олмат
#логика
#7класс
#бессмертнаяклассика

80. Перед вами мост через глубокую и широкую реку, на мосту стоит охранник. Ему было дано указание вешать тех людей, которые говорят правду и топить тех, кто лжёт. Что нужно сказать охраннику, чтобы он пропустил вас пройти через мост?

#олмат
#6класс
#логика
#бессмертнаяклассика

Ежидзе теперь и Вконтакте!
https://vk.com/ezhidze_group

81. В классе 28 учеников. На уроке программирования они делятся на 3 группы. На уроке английского они делятся тоже на 3 группы(возможно, по-другому) и на уроке физкультуры ученики разбиваются на 3 группы каким-то способом. Докажите, что найдутся хотя бы два ученика, которые на всех трех занятиях находятся друг с другом в одной группе.

#олмат
#9класс
#комбинаторика

82. Найдите сумму цифр всех чисел от 1 до 1000000.

#олмат
#10класс
#комбинаторика

83. На свой день рождения Василиса купила треугольный пирог, который она разрезала по каждой биссектрисе и получилось 6 кусков. Опоздавшему Игорю достался кусок в форме прямоугольного треугольника, на основании чего он заявил, что пирог имел форму равнобедренного треугольника. Прав ли Игорь?

#олмат
#геометрия
#8класс

84. За два года завод снизил объем выпускаемой продукции на 51%, при этом каждый год он снижался на одно и то же число процентов. На сколько?

#олмат
#7класс
#проценты

85. На озере растет одна лилия. Каждый день количество лилий увеличивается в два раза. За 30 дней озеро полностью покрылось лилиями. За сколько дней озеро покрылось бы лилиями, если бы изначально их было две?

#олмат
#4класс
#арифметика

86. Решите в целых числах
8n-16m = n^2+m^2+2.

#олмат
#8класс
#алгебра

87. Докажите следующее свойство биномиальных коэффициентов:

#олмат
#комбинаторика
#10класс