🧮 Зарисовка про алгебру, логику, вычислимость и школьную математику
Прежде чем мы, коллеги, вернёмся к письму Гёделя 👆, предлагаю небольшую зарисовку.
Начнём со школьной математики. Вопрос: достаточно ли школьных правил для доказательства всех истинных тождеств над положительными числами?
В школе мы используем 11 базовых правил для +, *, ^. Эти правила называют HSI (High School Identities):
Эти правила выглядят полными.
✅ Например, мы можем доказать/вывести следующее равенство с помощью правил HSI1-HSI11.
✅ Или докажем (x + 1)^2 = x ^2 + 2*х +1:
🚫Но в 1980 году Дж. Уилки построил пример тождества, которое истинно для всех положительных целых x и y, но не выводимо с помощью правил HSI1-HSI11:
Таким образом, школьные тождества неполны: существуют истинные алгебраические тождества, которые HSI доказать не могут.
Ниже — краткая справка о том, как это соотносится с фундаментальными результатами логики XX века.
Краткая научная справка (Гёдель, Тарский, Матиясевич, Гуревич, Макинтайр–Уилки):
📌 Гёдель (1931). Теоремы о неполноте - неразрешимость общих теорий над натуральными числами
Гёдель доказал, что всякая достаточно «сильная» и эффективно задаваемая теория арифметики неполна: существуют истинные утверждения о натуральных числах, которые не могут быть доказаны в рамках самой теории. Кроме того, теория не может доказать собственную непротиворечивость. Следовательно многое неразрешимо, но не всё неразрешимо, как мы сейчас увидим 👇
📌 Тарский (1948). Разрешимость элементарной теории вещественных чисел
Тарский доказал, что теория вещественных чисел с операциями +, * (назовём её Th<𝑅,+,*>) разрешима благодаря процедуре устранения кванторов.
Это довольно удивительное исключение среди логических теорий основ математики: многие арифметические/алгебраические теории неразрешимы, но теория «вещественного поля» — да.
📌 Матиясевич (1970). Теорема MRDP и X проблема Гильберта.
Матиясевич завершил работу Дэвиса–Патнэма–Робинсон: множество диофантовых уравнений, имеющих решение в целых числах, неразрешимо.
Следовательно, общая теория арифметики с сложением и умножением Th<N, +,*> неразрешима в отличии от Th<𝑅, +,*>.
📌 Гуревич (1985–1990). Теория тождеств с экспонентами.
Гуревич исследовал Th<R, +,*, ^> положительныe числa с экспонентами - просто добавим переменные в степенях. До сих пор 👆тоже были степени, но они были постоянными, а не переменными. Так вот Гуревич показал, что алгебраическая/арифметическая структура с переменными в степенях крайне сложна. В частности, он доказал, что эта теория не может быть задана конечной системой аксиом. Его результаты дополняют выводы Уилки: школьные тождества не просто неполны — никакая конечная система аксиом для всех истинных тождеств с экспонентами невозможна. Однако это не говорит о неразрешимости. Разрешимая теория Th<𝑅,+,*> тоже не поддаётся конечной аксиоматизации, однако существует алгоритм, который для любой заданной формулы проверяет, истинна ли она над полем действительных чисел или нет.
Прежде чем мы, коллеги, вернёмся к письму Гёделя 👆, предлагаю небольшую зарисовку.
Начнём со школьной математики. Вопрос: достаточно ли школьных правил для доказательства всех истинных тождеств над положительными числами?
В школе мы используем 11 базовых правил для +, *, ^. Эти правила называют HSI (High School Identities):
(HSI1) x + y = y + x
(HSI2) (x + y) + z = x + (y + z)
(HSI3) x * 1 = x
(HSI4) x * y = y * x
(HSI5) (x * y) * z = x * (y * z)
(HSI6) x * (y + z) = x*y + x*z
(HSI7) 1^x = 1
(HSI8) x^1 = x
(HSI9) x^(y + z) = x^y * x^z
(HSI10) (x * y)^z = x^z * y^z
(HSI11) (x^y)^z = x^(y*z)Эти правила выглядят полными.
✅ Например, мы можем доказать/вывести следующее равенство с помощью правил HSI1-HSI11.
(((x*y)^a * (1+x)^b)^c * ((1+y)^d * (x+y)^e)^f)^g = x^(a*c*g) * y^(a*c*g) * (1+x)^(b*c*g) * (1+y)^(d*f*g) * (x+y)^(e*f*g)✅ Или докажем (x + 1)^2 = x ^2 + 2*х +1:
(x + 1)^2
= (x + 1)^(1 + 1) (HSI9)
= (x + 1)^1 * (x + 1)^1 (HSI9)
= (x + 1) * (x + 1) (HSI8)
= (x + 1) * x + (x + 1) * 1 (HSI6)
= x * (x + 1) + (x + 1) (HSI4), (HSI3)
= (x * x + x * 1) + (x * 1 + 1) (HSI6), (HSI3)
= x * x + (x * 1 + x * 1) + 1 (HSI2)
= x^1 * x^1 + x * (1 + 1) + 1 (HSI6), (HSI8)
= x^(1+1) + x * 2 + 1 (HSI9)
= x^2 + 2 * x + 1 (HSI4)
🚫Но в 1980 году Дж. Уилки построил пример тождества, которое истинно для всех положительных целых x и y, но не выводимо с помощью правил HSI1-HSI11:
((1+x)^y + (1+x+x^2)^y)^x * ((1+x^3)^x + (1+x^2+x^4)^x)^y =
((1+x)^x + (1+x+x^2)^x)^y * ((1+x^3)^y + (1+x^2+x^4)^y)^x
Таким образом, школьные тождества неполны: существуют истинные алгебраические тождества, которые HSI доказать не могут.
Ниже — краткая справка о том, как это соотносится с фундаментальными результатами логики XX века.
Краткая научная справка (Гёдель, Тарский, Матиясевич, Гуревич, Макинтайр–Уилки):
📌 Гёдель (1931). Теоремы о неполноте - неразрешимость общих теорий над натуральными числами
Гёдель доказал, что всякая достаточно «сильная» и эффективно задаваемая теория арифметики неполна: существуют истинные утверждения о натуральных числах, которые не могут быть доказаны в рамках самой теории. Кроме того, теория не может доказать собственную непротиворечивость. Следовательно многое неразрешимо, но не всё неразрешимо, как мы сейчас увидим 👇
📌 Тарский (1948). Разрешимость элементарной теории вещественных чисел
Тарский доказал, что теория вещественных чисел с операциями +, * (назовём её Th<𝑅,+,*>) разрешима благодаря процедуре устранения кванторов.
Это довольно удивительное исключение среди логических теорий основ математики: многие арифметические/алгебраические теории неразрешимы, но теория «вещественного поля» — да.
📌 Матиясевич (1970). Теорема MRDP и X проблема Гильберта.
Матиясевич завершил работу Дэвиса–Патнэма–Робинсон: множество диофантовых уравнений, имеющих решение в целых числах, неразрешимо.
Следовательно, общая теория арифметики с сложением и умножением Th<N, +,*> неразрешима в отличии от Th<𝑅, +,*>.
📌 Гуревич (1985–1990). Теория тождеств с экспонентами.
Гуревич исследовал Th<R, +,*, ^> положительныe числa с экспонентами - просто добавим переменные в степенях. До сих пор 👆тоже были степени, но они были постоянными, а не переменными. Так вот Гуревич показал, что алгебраическая/арифметическая структура с переменными в степенях крайне сложна. В частности, он доказал, что эта теория не может быть задана конечной системой аксиом. Его результаты дополняют выводы Уилки: школьные тождества не просто неполны — никакая конечная система аксиом для всех истинных тождеств с экспонентами невозможна. Однако это не говорит о неразрешимости. Разрешимая теория Th<𝑅,+,*> тоже не поддаётся конечной аксиоматизации, однако существует алгоритм, который для любой заданной формулы проверяет, истинна ли она над полем действительных чисел или нет.
👍6🔥1
📌 Макинтайр & Уилки (1996). Теория вещественных чисел с экспонентой и гипотеза Шанюэля.
Разрешимость Th<R, +, *, ^> остаётся открытой: неизвестно, разрешима ли она.
Но Макинтайр и Уилки доказали: если верна гипотеза Шанюэля, то Th<R, +,*, ^> разрешима. Это одна из редких ситуаций, где вычислимость теории напрямую зависит от глубокой и доселе не доказанной гипотезы теории чисел.
💡🔔 Надеюсь я вас не очень утомил этим постом и, собственно, к чему я веду? Во-первых, к переходу между вычислимостью и сложностью вычислений, который затрагивается в письме Гёделя фон Нейману. Во-вторых, к возможным границам искусственных нейросетей, АI/AGI/ASI касаемо их применимости в серьезной математике. Но, не всё сразу.
Продолжение следует👇, оставайтесь на связи!
Разрешимость Th<R, +, *, ^> остаётся открытой: неизвестно, разрешима ли она.
Но Макинтайр и Уилки доказали: если верна гипотеза Шанюэля, то Th<R, +,*, ^> разрешима. Это одна из редких ситуаций, где вычислимость теории напрямую зависит от глубокой и доселе не доказанной гипотезы теории чисел.
💡🔔 Надеюсь я вас не очень утомил этим постом и, собственно, к чему я веду? Во-первых, к переходу между вычислимостью и сложностью вычислений, который затрагивается в письме Гёделя фон Нейману. Во-вторых, к возможным границам искусственных нейросетей, АI/AGI/ASI касаемо их применимости в серьезной математике. Но, не всё сразу.
Продолжение следует👇, оставайтесь на связи!
👍5❤2
В следующем сообщении мы попробуем разобрать возможности и границы ИИ именно в математике. Пока предлагаю опрос:
Может ли ИИ/AGI/ASI заменить человека-математика, или есть что-то, что есть у человека, но недоступно машине?
Anonymous Poll
8%
ИИ уже сейчас превосходит профессиональных математиков
31%
ИИ пока уступает, но в будущем заменит профессиональных математиков
41%
ИИ никогда не заменит профессиональных математиков, но будет активно помогать их работе
15%
Я не знаю, но хочу посмотреть ответы
5%
Свой вариант в комментариях
💡 Под «заменить» мы понимаем не только выполнение рутинных вычислений, но и творческую, концептуальную часть математики — нахождение новых идей, подходов, создание новых структур и теорий, которых, к примеру, не было в обучающих данных.
🤷♂1
Telegram
Истории (не)успеха (ИИ)ЕИ
Может ли ИИ/AGI/ASI заменить человека-математика, или есть что-то, что есть у человека, но недоступно машине?
ИИ уже сейчас превосходит профессиональных математиков / ИИ пока уступает, но в будущем заменит профессиональных математиков / ИИ никогда не заменит…
ИИ уже сейчас превосходит профессиональных математиков / ИИ пока уступает, но в будущем заменит профессиональных математиков / ИИ никогда не заменит…
Немного оживим вышестоящий опрос мнений цитатой Стефана Банаха:
https://t.me/easy_about_complex/1248
https://t.me/easy_about_complex/1248
Цепочки рассуждений человека и машины для очень сложных задач математики: конкретные примеры.
Часть I/III. Как это работает у людей?
Итак, коллеги, давайте подумаем, сможет ли ИИ когда-либо решать нерешённые задачи математики, с которыми самые лучшие математики-люди справляются с огромным трудом, и если да — что нужно сделать ещё в области машинного обучения? Чего не хватает сейчас?
Оговорюсь сразу: я не знаю ответа на все затрагиваемые в этом сообщении вопросы, но попытаюсь подвести прежде всего себя самого к ответам. Для этого я детально рассмотрю поиск решений для двух крутейшиx задач математики. Одна решённая с огромным трудом, а другая - до сих пор нерешённая.
Прежде чем мы начнём, уточню: я не рассуждаю тут про AGI, который, как считается, превзойдёт людей в решении всех задач. Я разбираю совершенно другой вопрос: сможет ли машина превзойти лучших математиков на сложнейших задачах? Насколько хорошо машина при этом сможет писать стихи, рисовать картины и решать прочие задачи — не предмет этого сообщения.
🔷 Итак, погнали к задачам. Рассмотрим две задачи записанные на языке логики первого порядка над натуральными числами:
Задача 1:
💡Узнали ли вы эти задачи? Первая — это Великая теорема Ферма, а вторая — задача о так называемой Пифагоровой комнате, в которой, по слухам, хранятся решения всех нерешённых задач математики 😎
На решение первой задачи людям потребовалось более 300 лет, и кто только этим не занимался — от любителей до лучших в мире профессионалов. Вторая задача до сих пор не решена (мы про неё писали тут).
Давайте посмотрим, что делает эти задачи такими сложными, и что нам могут предложить методы машинного обучения вообще и искусственные нейросети в частности.
🔷 Почему теорема Ферма так сложна
В первой задаче нужно показать, что степенное уравнение не выполняется ни для каких x, y, z, n. Очевидно, что мы не можем перебирать все x, y, z и n, ведь их бесконечно много.
Как же люди решают такие задачи? Они «вырезают» из бесконечности отдельные куски, которые точно можно не проверять, и надеются, что останется либо конечное число целых положительных четвёрок (x, y, z, n), которые можно проверить напрямую, либо не останется ничего — и тогда теорема доказана.
За 300 лет было получено множество частных результатов. Например:
- для каждого отдельного n>3: xⁿ + yⁿ = zⁿ либо не имеет решений, либо имеет лишь конечное число взаимно простых решений.
Таким образом некоторые части огромного четырёхмерного пространства оказываются «вырезаны» и их можно не проверять. И так далее. Было получено множество промежуточных результатов с вырезанием отдельных бесконечных кусков из "большой бесконечности".
Но полностью разрезать всё пространство ℕ⁴ на куски, которые точно не могут удовлетворять равенству Ферма, так и не удалось.
🔷 Ход Уайлса
В начале 90-х Эндрю Уайлс в своём знаменитом доказательстве подошёл к задаче с другой стороны. Он рассматривал семейство трёхмерных поверхностей
Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ
и заметил: если бы существовало хоть одно целое решение (x, y, z) при n>2, то через соответствующую точку (x, y, z) можно было бы построить особую геометрическую конструкцию — кривую Фрея, лежащую на той же поверхности Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ. Эта кривая устроена так, что её форма и свойства напрямую зависят от чисел x, y и z.
Грубо говоря, арифметические особенности гипотетического решения «переводятся» в геометрию этой кривой.
Дальше начинается самое интересное. С помощью глубоких связей между:
- геометрией эллиптических кривых,
- симметриями числовых полей (теория Галуа),
- и определёнными аналитическими объектами (модулярными формами)
можно показать, что такая кривая не может существовать в принципе. А раз она не может существовать, то не может существовать и исходное целое решение уравнения Ферма. □
Продолжение части I/III 👇
Часть I/III. Как это работает у людей?
Итак, коллеги, давайте подумаем, сможет ли ИИ когда-либо решать нерешённые задачи математики, с которыми самые лучшие математики-люди справляются с огромным трудом, и если да — что нужно сделать ещё в области машинного обучения? Чего не хватает сейчас?
Оговорюсь сразу: я не знаю ответа на все затрагиваемые в этом сообщении вопросы, но попытаюсь подвести прежде всего себя самого к ответам. Для этого я детально рассмотрю поиск решений для двух крутейшиx задач математики. Одна решённая с огромным трудом, а другая - до сих пор нерешённая.
Прежде чем мы начнём, уточню: я не рассуждаю тут про AGI, который, как считается, превзойдёт людей в решении всех задач. Я разбираю совершенно другой вопрос: сможет ли машина превзойти лучших математиков на сложнейших задачах? Насколько хорошо машина при этом сможет писать стихи, рисовать картины и решать прочие задачи — не предмет этого сообщения.
🔷 Итак, погнали к задачам. Рассмотрим две задачи записанные на языке логики первого порядка над натуральными числами:
Задача 1:
∀x ∀y ∀z ∀n (x>0 ∧ y>0 ∧ z>0 ∧ n>2 → xⁿ + yⁿ ≠ zⁿ)
Задача 2:∃a ∃b ∃c (
a>0 ∧ b>0 ∧ c>0 ∧
∃d₁ (d₁² = a² + b²) ∧
∃d₂ (d₂² = a² + c²) ∧
∃d₃ (d₃² = b² + c²) ∧
∃D (D² = a² + b² + c²)
)💡Узнали ли вы эти задачи? Первая — это Великая теорема Ферма, а вторая — задача о так называемой Пифагоровой комнате, в которой, по слухам, хранятся решения всех нерешённых задач математики 😎
На решение первой задачи людям потребовалось более 300 лет, и кто только этим не занимался — от любителей до лучших в мире профессионалов. Вторая задача до сих пор не решена (мы про неё писали тут).
Давайте посмотрим, что делает эти задачи такими сложными, и что нам могут предложить методы машинного обучения вообще и искусственные нейросети в частности.
🔷 Почему теорема Ферма так сложна
В первой задаче нужно показать, что степенное уравнение не выполняется ни для каких x, y, z, n. Очевидно, что мы не можем перебирать все x, y, z и n, ведь их бесконечно много.
Как же люди решают такие задачи? Они «вырезают» из бесконечности отдельные куски, которые точно можно не проверять, и надеются, что останется либо конечное число целых положительных четвёрок (x, y, z, n), которые можно проверить напрямую, либо не останется ничего — и тогда теорема доказана.
За 300 лет было получено множество частных результатов. Например:
- для каждого отдельного n>3: xⁿ + yⁿ = zⁿ либо не имеет решений, либо имеет лишь конечное число взаимно простых решений.
Таким образом некоторые части огромного четырёхмерного пространства оказываются «вырезаны» и их можно не проверять. И так далее. Было получено множество промежуточных результатов с вырезанием отдельных бесконечных кусков из "большой бесконечности".
Но полностью разрезать всё пространство ℕ⁴ на куски, которые точно не могут удовлетворять равенству Ферма, так и не удалось.
🔷 Ход Уайлса
В начале 90-х Эндрю Уайлс в своём знаменитом доказательстве подошёл к задаче с другой стороны. Он рассматривал семейство трёхмерных поверхностей
Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ
и заметил: если бы существовало хоть одно целое решение (x, y, z) при n>2, то через соответствующую точку (x, y, z) можно было бы построить особую геометрическую конструкцию — кривую Фрея, лежащую на той же поверхности Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ. Эта кривая устроена так, что её форма и свойства напрямую зависят от чисел x, y и z.
Грубо говоря, арифметические особенности гипотетического решения «переводятся» в геометрию этой кривой.
Дальше начинается самое интересное. С помощью глубоких связей между:
- геометрией эллиптических кривых,
- симметриями числовых полей (теория Галуа),
- и определёнными аналитическими объектами (модулярными формами)
можно показать, что такая кривая не может существовать в принципе. А раз она не может существовать, то не может существовать и исходное целое решение уравнения Ферма. □
Продолжение части I/III 👇
👍3❤2
Продолжение. Начало👆
Это было очень упрощённое описание идеи знаменитого доказательства — но именно так работает современная математика: она переводит задачу из одной «вселенной» в другую. В данном случае — из вселенной чисел во вселенную геометрии и симметрий, где действуют более строгие законы, позволившие полностью исключить возможные решения равенства Ферма.
🔷 Цепочки рассуждений и гигантский граф
Работа Уайлса — это более 150 страниц, разбитых на множество технических лемм. Если грубо оценить, всё доказательство — это примерно 200–250 логических шагов вида «из утверждения А следует утверждение Б».
Можно представить утверждения А и Б как вершины графа.
Из вершины А можно перейти к вершине Б, если утверждение Б логически следует из А.
Если сравнить решение задач такого масштаба с поиском пути в графе от начальной вершины (условие задачи) до конечной (решение), то очень приблизительно можно оценить количество потенциальных вершин этого графа как что-то порядка:
👉 10²⁰⁰–10²⁵⁰ вариантов.
Но работа математика — это не перебор всего этого астрономического пространства. Математики следуют опыту и интуиции.
🔷 Как это работает у людей?
Если подойти к математику и сказать: «Вот такая задача, как её решать?» — он может ответить: «Я на конференции слышал доклад такого-то. Это не совсем про Вашу задачу, но посмотрите его работы».
То есть он видит в задаче определённые структуры или паттерны и знает, какие идеи из предыдущего опыта могут вести к решению.
Эту способность — узнавать структуры и связи, угадывать направление, ещё до того как сделан первый формальный шаг — я бы назвал математической интуицией, которая приходит с опытом.
В следующей части мы углубимся в математические цепочки рассуждений на примере этих двух задач и перейдём от построения цепочек рассуждений математиков к цепочкам рассуждений больших языковых моделей.
Продолжение следует. Оставайтесь на связи!
Это было очень упрощённое описание идеи знаменитого доказательства — но именно так работает современная математика: она переводит задачу из одной «вселенной» в другую. В данном случае — из вселенной чисел во вселенную геометрии и симметрий, где действуют более строгие законы, позволившие полностью исключить возможные решения равенства Ферма.
🔷 Цепочки рассуждений и гигантский граф
Работа Уайлса — это более 150 страниц, разбитых на множество технических лемм. Если грубо оценить, всё доказательство — это примерно 200–250 логических шагов вида «из утверждения А следует утверждение Б».
Можно представить утверждения А и Б как вершины графа.
Из вершины А можно перейти к вершине Б, если утверждение Б логически следует из А.
Если сравнить решение задач такого масштаба с поиском пути в графе от начальной вершины (условие задачи) до конечной (решение), то очень приблизительно можно оценить количество потенциальных вершин этого графа как что-то порядка:
👉 10²⁰⁰–10²⁵⁰ вариантов.
Но работа математика — это не перебор всего этого астрономического пространства. Математики следуют опыту и интуиции.
🔷 Как это работает у людей?
Если подойти к математику и сказать: «Вот такая задача, как её решать?» — он может ответить: «Я на конференции слышал доклад такого-то. Это не совсем про Вашу задачу, но посмотрите его работы».
То есть он видит в задаче определённые структуры или паттерны и знает, какие идеи из предыдущего опыта могут вести к решению.
Эту способность — узнавать структуры и связи, угадывать направление, ещё до того как сделан первый формальный шаг — я бы назвал математической интуицией, которая приходит с опытом.
В следующей части мы углубимся в математические цепочки рассуждений на примере этих двух задач и перейдём от построения цепочек рассуждений математиков к цепочкам рассуждений больших языковых моделей.
Продолжение следует. Оставайтесь на связи!
Telegram
Истории (не)успеха (ИИ)ЕИ
Цепочки рассуждений человека и машины для очень сложных задач математики: конкретные примеры.
Часть I/III. Как это работает у людей?
Итак, коллеги, давайте подумаем, сможет ли ИИ когда-либо решать нерешённые задачи математики, с которыми самые лучшие математики…
Часть I/III. Как это работает у людей?
Итак, коллеги, давайте подумаем, сможет ли ИИ когда-либо решать нерешённые задачи математики, с которыми самые лучшие математики…
👍5🔥2
Forwarded from Кофейный теоретик
День математика сегодня празднуют в России. Повод, надо сказать, пристойный: день рождения Николая Ивановича Лобачевского, великого геометра, создателя (в некотором смысле) неевклидовой геометрии и ректора Казанского университета.
Я вот уже несколько месяцев размышляю о том, что математика — на самом деле очень жестокая наука. Возможно, самая жестокая из всех. В естественных науках всегда можно позаниматься какими-то экспериментами. Даже отсутствие результата — часто некий результат, информация о том, что так-то и так-то сделать нельзя. А у нас…
В математике отсутствие результата — это именно отсутствие результата. Сотни (тысячи?) исписанных страниц, всяких попыток и так далее — никому не покажешь, если ничего не доказал. А если и доказал, то часто такая ерунда, что даже и не опубликуешь. Когда я ещё писал на бумаге (уже много лет пишу в планшетнике), я как-то прикинул, что один из моих результатов — довольно ерундовый — стоил мне буквально пачки листов А4. А сколько таких «пачек» не привели вообще ни к чему…
Вот и сейчас: вымучиваю результат, которым занимаюсь уже года два, если не больше. Всего-то третий раз переписываю текст, исправляю определения, подбираю нужную общность. Сплошные мучения ради редких секунд удовольствия от пришедшего понимания.
И я ещё довольно благополучный парень. У меня есть много задач, которые розданы моим верным падаванам, и с которыми мучаются в основном они. Кстати, они зайки: часто получаются очень неплохие результаты — «я бы такого не придумал». Хотя и от них часто слышу: «Ой, ничего не получается, что делать… Ой, прокрастинация замучала… Ой, там всё сложно и/или и так всё наверное известно…»
Кстати, о самом Лобачевском. Человек вроде бы успешный: ректор университета, награждённый орденами, возведённый в потомственное дворянство. Лавировавший между религиозным фанатиком Магницким и необходимостью развивать естественные науки (банально иметь анатомические препараты). Человек, которого костерили за неевклидову геометрию не в последнюю очередь с точки зрения «недостаточной духовности» оной.
Тут небольшое замечание: в те времена к аксиомам подход был достаточно строгий. И замена Лобачевским одной аксиомы на другую воспринималась как возмутительное вольтерьянство. Чего уж: даже введение им в курс (обычной) геометрии метрической системы было воспринято как реверанс в сторону французских вольнодумцев. Ну, а за неевклидову геометрию его крыли последними словами в «Сыне отечества». Это примерно как если бы сейчас его прополоскали в эфире у Соловьёва.
В последние месяцы жизни, вытуренный из родного Казанского университета, Лобачевский ослеп. И, почти не вставая с кровати, надиктовывал последнюю книгу, «Пангеометрию», своим ученикам — которые, по воспоминаниям, были очень недовольны, что им приходится терпеть старого дурака и его бредни. Когда ещё через десяток лет, благодаря работам Бельтрами и других, построивших модели для его геометрии, к Николаю Ивановичу пришла слава, университет решил издать полное собрание сочинений. И многие работы не нашли… Кстати, и до сих пор, как я понимаю, не все его труды обнаружены.
Правда про профессию «математик» в том, что ей нужно заниматься только когда нет другого выхода. Мне кажется, если есть вариант между математикой и чем-то ещё, радующим душу, надо выбирать второй вариант.
Впрочем, очень часто бывает, что выбор — это иллюзия, и никакого варианта нет. Тогда — добро пожаловать в профессию :-)
Удачи нам, дорогие коллеги! Всех причастных — с праздником! Keep pushing!
Я вот уже несколько месяцев размышляю о том, что математика — на самом деле очень жестокая наука. Возможно, самая жестокая из всех. В естественных науках всегда можно позаниматься какими-то экспериментами. Даже отсутствие результата — часто некий результат, информация о том, что так-то и так-то сделать нельзя. А у нас…
В математике отсутствие результата — это именно отсутствие результата. Сотни (тысячи?) исписанных страниц, всяких попыток и так далее — никому не покажешь, если ничего не доказал. А если и доказал, то часто такая ерунда, что даже и не опубликуешь. Когда я ещё писал на бумаге (уже много лет пишу в планшетнике), я как-то прикинул, что один из моих результатов — довольно ерундовый — стоил мне буквально пачки листов А4. А сколько таких «пачек» не привели вообще ни к чему…
Вот и сейчас: вымучиваю результат, которым занимаюсь уже года два, если не больше. Всего-то третий раз переписываю текст, исправляю определения, подбираю нужную общность. Сплошные мучения ради редких секунд удовольствия от пришедшего понимания.
И я ещё довольно благополучный парень. У меня есть много задач, которые розданы моим верным падаванам, и с которыми мучаются в основном они. Кстати, они зайки: часто получаются очень неплохие результаты — «я бы такого не придумал». Хотя и от них часто слышу: «Ой, ничего не получается, что делать… Ой, прокрастинация замучала… Ой, там всё сложно и/или и так всё наверное известно…»
Кстати, о самом Лобачевском. Человек вроде бы успешный: ректор университета, награждённый орденами, возведённый в потомственное дворянство. Лавировавший между религиозным фанатиком Магницким и необходимостью развивать естественные науки (банально иметь анатомические препараты). Человек, которого костерили за неевклидову геометрию не в последнюю очередь с точки зрения «недостаточной духовности» оной.
Тут небольшое замечание: в те времена к аксиомам подход был достаточно строгий. И замена Лобачевским одной аксиомы на другую воспринималась как возмутительное вольтерьянство. Чего уж: даже введение им в курс (обычной) геометрии метрической системы было воспринято как реверанс в сторону французских вольнодумцев. Ну, а за неевклидову геометрию его крыли последними словами в «Сыне отечества». Это примерно как если бы сейчас его прополоскали в эфире у Соловьёва.
В последние месяцы жизни, вытуренный из родного Казанского университета, Лобачевский ослеп. И, почти не вставая с кровати, надиктовывал последнюю книгу, «Пангеометрию», своим ученикам — которые, по воспоминаниям, были очень недовольны, что им приходится терпеть старого дурака и его бредни. Когда ещё через десяток лет, благодаря работам Бельтрами и других, построивших модели для его геометрии, к Николаю Ивановичу пришла слава, университет решил издать полное собрание сочинений. И многие работы не нашли… Кстати, и до сих пор, как я понимаю, не все его труды обнаружены.
Правда про профессию «математик» в том, что ей нужно заниматься только когда нет другого выхода. Мне кажется, если есть вариант между математикой и чем-то ещё, радующим душу, надо выбирать второй вариант.
Впрочем, очень часто бывает, что выбор — это иллюзия, и никакого варианта нет. Тогда — добро пожаловать в профессию :-)
Удачи нам, дорогие коллеги! Всех причастных — с праздником! Keep pushing!
👍2❤1
Dmytro
🚀🇩🇪 А как тебе такое, Илон Маск? Пропустил как-то эту новость, но, фигасе, наш мюнхенский и аугсбургский стартапы запускают ракеты! 🤯 Разрабатывают и запускают рекетоносители для вывода спутников на орбиту. Ну как запускают... запускают — и тут же ловят.…
Так получилось, что я сейчас пью пиво с сооснователем этого стартапа ) Какие вопросы ему задать? )
Forwarded from Истории (не)успеха (ИИ)ЕИ
Продолжение. Начало👆
Это было очень упрощённое описание идеи знаменитого доказательства — но именно так работает современная математика: она переводит задачу из одной «вселенной» в другую. В данном случае — из вселенной чисел во вселенную геометрии и симметрий, где действуют более строгие законы, позволившие полностью исключить возможные решения равенства Ферма.
🔷 Цепочки рассуждений и гигантский граф
Работа Уайлса — это более 150 страниц, разбитых на множество технических лемм. Если грубо оценить, всё доказательство — это примерно 200–250 логических шагов вида «из утверждения А следует утверждение Б».
Можно представить утверждения А и Б как вершины графа.
Из вершины А можно перейти к вершине Б, если утверждение Б логически следует из А.
Если сравнить решение задач такого масштаба с поиском пути в графе от начальной вершины (условие задачи) до конечной (решение), то очень приблизительно можно оценить количество потенциальных вершин этого графа как что-то порядка:
👉 10²⁰⁰–10²⁵⁰ вариантов.
Но работа математика — это не перебор всего этого астрономического пространства. Математики следуют опыту и интуиции.
🔷 Как это работает у людей?
Если подойти к математику и сказать: «Вот такая задача, как её решать?» — он может ответить: «Я на конференции слышал доклад такого-то. Это не совсем про Вашу задачу, но посмотрите его работы».
То есть он видит в задаче определённые структуры или паттерны и знает, какие идеи из предыдущего опыта могут вести к решению.
Эту способность — узнавать структуры и связи, угадывать направление, ещё до того как сделан первый формальный шаг — я бы назвал математической интуицией, которая приходит с опытом.
В следующей части мы углубимся в математические цепочки рассуждений на примере этих двух задач и перейдём от построения цепочек рассуждений математиков к цепочкам рассуждений больших языковых моделей.
Продолжение следует. Оставайтесь на связи!
Это было очень упрощённое описание идеи знаменитого доказательства — но именно так работает современная математика: она переводит задачу из одной «вселенной» в другую. В данном случае — из вселенной чисел во вселенную геометрии и симметрий, где действуют более строгие законы, позволившие полностью исключить возможные решения равенства Ферма.
🔷 Цепочки рассуждений и гигантский граф
Работа Уайлса — это более 150 страниц, разбитых на множество технических лемм. Если грубо оценить, всё доказательство — это примерно 200–250 логических шагов вида «из утверждения А следует утверждение Б».
Можно представить утверждения А и Б как вершины графа.
Из вершины А можно перейти к вершине Б, если утверждение Б логически следует из А.
Если сравнить решение задач такого масштаба с поиском пути в графе от начальной вершины (условие задачи) до конечной (решение), то очень приблизительно можно оценить количество потенциальных вершин этого графа как что-то порядка:
👉 10²⁰⁰–10²⁵⁰ вариантов.
Но работа математика — это не перебор всего этого астрономического пространства. Математики следуют опыту и интуиции.
🔷 Как это работает у людей?
Если подойти к математику и сказать: «Вот такая задача, как её решать?» — он может ответить: «Я на конференции слышал доклад такого-то. Это не совсем про Вашу задачу, но посмотрите его работы».
То есть он видит в задаче определённые структуры или паттерны и знает, какие идеи из предыдущего опыта могут вести к решению.
Эту способность — узнавать структуры и связи, угадывать направление, ещё до того как сделан первый формальный шаг — я бы назвал математической интуицией, которая приходит с опытом.
В следующей части мы углубимся в математические цепочки рассуждений на примере этих двух задач и перейдём от построения цепочек рассуждений математиков к цепочкам рассуждений больших языковых моделей.
Продолжение следует. Оставайтесь на связи!
Telegram
Истории (не)успеха (ИИ)ЕИ
Цепочки рассуждений человека и машины для очень сложных задач математики: конкретные примеры.
Часть I/III. Как это работает у людей?
Итак, коллеги, давайте подумаем, сможет ли ИИ когда-либо решать нерешённые задачи математики, с которыми самые лучшие математики…
Часть I/III. Как это работает у людей?
Итак, коллеги, давайте подумаем, сможет ли ИИ когда-либо решать нерешённые задачи математики, с которыми самые лучшие математики…
👍2🔥2❤1
Forwarded from Истории (не)успеха (ИИ)ЕИ
🎄 «Цыплят по осени считают», как гласит народная мудрость. А какая научная работа в этом году заставила вас сказать «ВАУ»?
Да, до Нового года ещё аж целых три месяца, коллеги , но почему бы уже не начать подводить итоги? Что сделали физмат-науки за этот год, что вас действительно впечатлило?
В моём поле зрения оказалось два ярких кандидата на результат года:
1️⃣ Теория сложности: свежий взгляд на разделение классов P и PSPACE — новое понимание времени и пространства в вычислениях.
2️⃣ Матфизика: шаг к решению 6-й проблемы Гильберта — корректный предельный переход между неравновесной термодинамикой и уравнениями Навье–Стокса.
Но интересно не только моё мнение:
💡 Какие работы этого года заставили вас сказать «вау»? В любой области науки.
Давайте вместе составим наш рейтинг 2025 года! 🏆
Да, до Нового года ещё аж целых три месяца, коллеги , но почему бы уже не начать подводить итоги? Что сделали физмат-науки за этот год, что вас действительно впечатлило?
В моём поле зрения оказалось два ярких кандидата на результат года:
1️⃣ Теория сложности: свежий взгляд на разделение классов P и PSPACE — новое понимание времени и пространства в вычислениях.
2️⃣ Матфизика: шаг к решению 6-й проблемы Гильберта — корректный предельный переход между неравновесной термодинамикой и уравнениями Навье–Стокса.
Но интересно не только моё мнение:
💡 Какие работы этого года заставили вас сказать «вау»? В любой области науки.
Давайте вместе составим наш рейтинг 2025 года! 🏆
❤1
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
В последние месяцы канал, к сожалению, обновлялся нерегулярно и, что уж тут греха таить, постилась часто всякая фигня. Это нужно исправлять — и в ближайшие дни и недели публикации снова станут стабильными и глубокими.
Планируется вернуться к систематическому разбору интересных результатов и идей из физики и математики: от классических тем до современных направлений.
Начнём, пожалуй, с двух областей, которые на первый взгляд кажутся далёкими друг от друга, — теории сложности и теории категорий.
Какая между ними связь? На самом деле — самая прямая: категории всё чаще используются для формализации вычислений, а сложность можно рассматривать через структуру морфизмов и преобразований.
Поговорим о том, как абстрактные конструкции помогают лучше понимать вычисления, алгоритмы и границы того, что вообще можно эффективно посчитать.
Оставайтесь на связи — впереди будет много математики!
Планируется вернуться к систематическому разбору интересных результатов и идей из физики и математики: от классических тем до современных направлений.
Начнём, пожалуй, с двух областей, которые на первый взгляд кажутся далёкими друг от друга, — теории сложности и теории категорий.
Какая между ними связь? На самом деле — самая прямая: категории всё чаще используются для формализации вычислений, а сложность можно рассматривать через структуру морфизмов и преобразований.
Поговорим о том, как абстрактные конструкции помогают лучше понимать вычисления, алгоритмы и границы того, что вообще можно эффективно посчитать.
Оставайтесь на связи — впереди будет много математики!
🔥5❤1👍1
Читаю сейчас работу моего друга Димы Топчий про равенство классов P и NP. Разбираюсь, вникаю. Признаюсь - пока много не понимаю. Но во всяком случае меня не покидает ощущение, что мы стоим на пороге чего-то великого. Или по крайней мере сногсшибательного. Пока мне лично много не понятно, но Дима всегда готов на лайв-стрим, где может ответить на вопросы.
С моей стороны, я предлагаю, немного покопаться в этой работе прежде чем задавать вопросы автору
С моей стороны, я предлагаю, немного покопаться в этой работе прежде чем задавать вопросы автору
👍6👀1
Работа находится в ревью в знаменитом журнале Theoretical Computer Science, ну а мы с вами имеем возможность прочитать уже сейчас и задать вопросы автору, который, кста, модератор в этом канале и сам может писать посты :-)
И есть пояснительная бригада в виде меня и остальных ребят, которые либо из computer science, либо из математики.
Хотите следующим постом или даже видео-лекцией введение в эти темы? Какие именно?
Anonymous Poll
52%
Хочу введение в теорию сложности и проблему P vs NP
28%
Хочу введение в теорию категорий
8%
Я это всё знаю и без вас, давайте сразу лайв-стрим
12%
Мне пофиг, делайте что хотите
😁4
Друг мой Дима, ребята, вот последняя версия. Дима, пожалуйста, удали версию pdf выше.