Думаю, все же что-то хорошее из этой задачи сделать можно, но в таком виде для аналитического исследования она мало пригодна. Еще можно оставить ее как упражнение для получения картинок на плоскости параметров задачи.

Если кто-то потратил на нее много времени, мне жаль.

Высылаю домашнее задание по седьмой лекции. Дедлайн - вечер следующего вторника (28 октября). Задания можно высылать на почту sakharov.av@phystech.edu или сдавать по вторникам после лекции. В этом задании все должно быть нормально.

Теорема Пуанкаре-Бендиксона

Если в поглощающей области D нет положений равновесия, то в D есть хотя бы одна периодическая траектория.

Пусть x(x0, t) - траектория в D (на рисунке D изображена в виде кольца, чтобы исключить положение равновесия). По свойству 2, доказанному на лекции, у x(x0, t) есть ω-предельная точка x' (другими словами, из точек траектории x(x0, t) можно сделать последовательность, а из нее выделить сходящуюся подпоследовательность). Рассмотрим траекторию x(x', t). По свойству 1, доказанному на лекции, x(x', t) принадлежит ω-предельному множеству x(x0, t) (к каждой точке x(x', t) можно построить сходящуюся последовательность путем сдвига сходящейся к x' последовательности на t).
У траектории x(x', t) тоже есть ω-предельная точка x''. Предположим, что x(x', t) не проходит через точку x''. В таком случае, с учетом того, что в окрестности x'' векторное поле выпрямляется, можно построить конструкцию под названием мешок Бендиксона (на рисунке он замазан карандашом). Заметим, что точка x' находится за пределами мешка в силу способа его построения. Тогда возможно всего два варианта:
1) x(x0, t) попадет в мешок. В этом случае x' не является ω-предельной точкой x(x0, t).
2) x(x0, t) не попадет в мешок. Тогда точки траектории x(x', t) не являются ω-предельными для x(x0, t).
Оба случая дают противоречие, а значит, такой конструкции быть не может, то есть траектория x(x', t) должна пройти через x''.
Согласно доказанной на лекции теореме, если траектория содержит свою ω-предельную точку, то эта траектория представляет собой или точку, или замкнутую кривую. Первый вариант исключен, а значит x(x', t) - периодическая траектория.

Высылаю домашнее задание по восьмой лекции. Дедлайн - вечер вторника 11 ноября. Задания можно высылать на почту sakharov.av@phystech.edu или сдавать по вторникам после лекции.

Ближайший вторник будет выходным днем, поэтому предлагается провести лекцию 11 ноября. По плану у нас осталась одна или две лекции.

Формулировка теоремы Пуанкаре-Андронова-Хопфа приведена здесь на страницах 5-6.

Напоминаю, что сегодня в обычное время в обычном месте пройдет лекция. Лекция, вероятно, будет заключительной.