А если вокруг оси, которой соответствует один из равных друг другу моментов инерции, то вращение тоже будет устойчивым. Можете проверить это самостоятельно, посмотрев на уравнения. Система в этом случае становится линейной, собственные значения легко находятся. Движение, при желании, выражается в элементарных функциях.

Седло-узловая бифуркация

Предельный цикл

В задаче 1 этого домашнего задания указание сформулировано неверно. Для доказательства устойчивости положения равновесия стоит взять функцию Ляпунова указанную на этой картинке. Здесь первое слагаемое соответствует кинетической энергии движения маятника в вертикальной плоскости, второе — потенциальной энергии силы тяжести, а третье — кинетической энергии вращения маятника вокруг вертикали, взятой с обратным знаком. Для доказательства того, что эта функция больше нуля в малой проколотой окрестности положения равновесия, необходимо разложить ее в ряд, оставив только слагаемые второго порядка.

Извините, если кто-то долго страдал из-за этой задачи.

Высылаю домашнее задание по шестой лекции. Дедлайн - вечер следующего вторника (21 октября). Задания можно высылать на почту sakharov.av@phystech.edu или сдавать по вторникам после лекции.