В алгебраической топологии понятие спектра впервые ввел в 1958 г. Э. Л. Лима, ученик Э. Г. Спеньера.
Имеется несколько причин, по которым спектры в топологии рано или поздно должны были появиться. Мы постепенно обсудим некоторые из них и начнем сегодня с очень простой.

Пусть h⁎(−) — приведенная теория гомологий, определенная для топологических пространств с отмеченной точкой.
Какая именно? Любая, которую вы знаете. Можно понимать h⁎ как функтор из категории Top₊ (топологических пространств с отмеченной точкой) в категорию градуированных абелевых групп gr-Ab.
В Top₊ имеется функтор надстройки ΣX = S¹∧X.
Для приведенной теории гомологий h⁎ имеет место изоморфизм надстройки hₙ₊₁(ΣX) = hₙ(X). Посмотрим на него чуть более «концептуально».

В категории градуированных абелевых групп имеется аналог надстройки s : gr-Ab → gr-Ab.
А именно, для A⁎ = ⊕ₙ Aₙ определим «надстройку» (sA)⁎ как (sA)⁎ = ⊕ₙ (sA)ₙ, где (sA)ₙ₊₁ = Aₙ. Как видно, (sA)⁎ состоит из тех же групп Aₙ, но со сдвинутой на 1 градуировкой.
Тогда изоморфизм надстройки можно представить в виде
h⁎ ∘ Σ = s ∘ h⁎.

В чем же фокус?

Надстройки в Top₊ и в gr-Ab обладают заметно различающимися свойствами. Самое главное — надстройка s в gr-Ab обратима: для любой градуированной абелевой группы A⁎ имеется ее денадстройка — градуированная абелева группа B, для которой (sB)⁎ = A⁎.
Для топологических пространств это далеко не так — не для всякого пространства существует денадстройка.

По всей видимости, должна существовать промежуточная категория S и функтор T : Top₊ → S:

(1) в S определена надстройка s, причем функтор T перестановочен с надстройками: T(ΣX) = sT(X);

(2) надстройка в S обратима;

(3) любая приведенная теория гомологий h⁎ пропускается через S, т.е. для любой h⁎ существует функтор ĥ⁎ : S → gr-Ab, такой что h⁎ = ĥ⁎ ∘ T.

Это должно напомнить вам один сюжет из алгебры: если рассматриваются гомоморфизмы данной группы G в какие-то абелевы группы, то в совершенно конкретном категорном смысле можно рассматривать гомоморфизмы абеленизации Gᵃᵇ = G/[G,G] в те же самые абелевы группы — в обоих случаях получатся эквивалентные результаты.

Кстати, вопрос: придумайте пример односвязного пространства X, для которого не существует Y и гомотопической эквивалентности ΣY = X.

мне арт сделали)))

https://youtu.be/QIBQTIjYjr8?si=DZ7bum3r9i3YLGm9

новое видева

н. Кольский ака К. В Логинов великий человек

я сегодня с одним крайне уважаемым человеком гулял по центру Москвы и мы на фасаде одного из зданий увидели этот герб, пытались опознать его, ибо выглядит крайне знакомым, но не смогли. Может кто то из вас сможет опознать чей это герб?

upd: дом на малом могильцевском переулке 4Б принадлежал семейству Казарновских как доходный дом, но как таковой информации об их геральдике нет, так что наиболее вероятно что это новодел, ибо слишком он прост для семейного герба

я тут услышал трек одной тик ток пикмухи и после этого треки бычьего цепня звучат как рай для ушей

я думал вчера ночью насрать текст про когомотопии, но мне было очень лень и я ушел спать

сука алгебраическая топология и ТОЛЬКО алгебраическая топология

я всё таки решил написать про когомотопии.

думаю вы все знаете про гомологии и когомологии, они двойственны потому что Hⁿ(X, R)=Hom(H_n(X, R), R).
и все знаете про гомотопи группы которые являются классами гомотопических отображений Sⁿ->X. но также существует менее известная двойственная им структура как когомотопии(не группы!), они по аналогии являются классами гомотопических отображений X->Sⁿ.
Как я уже оговорился, когомотопии не являются группами и имеют операцию индуцированную с отображением только когда пространство является Копространством Гопфа(справедливости ради я сам не до конца понимаю проткопространство гопфа), но когомотопии являются группами тогда когда например пространство является надстройкой другого пространства ΣX, тк в данном случае для операции будет требоваться отображение X->XvX которое будет индуцировать операцию сложения через копроизведение Sⁿ->SⁿvSⁿ.
например π²(S²vS²)~ZxZ и на нём операция не индуцирована с отображениями, так что группой оно не является.

Немного про способы вычисления, через гомотопические группы когомотопии вычислить в общем виде невозможно, и это возможно только в некоторых случаях.
Если X-замкнутое ориентируемое n-многообразие то существует биекция πⁿ(X)-deg->Z, где deg это степень отображения f:X->Sⁿ. таким образом πⁿ(X)~Hⁿ(X, Z)~Z
Также существует теорема Хопфа-Уитни об размерностном изоморфизме
если dimX<2n-1 то πⁿ(X)~Hⁿ(X, Z) как группы, причём когомотопические группы наследуют структуру абелевой группы из групп когомологий
также есть достаточно важная теорема Фрейденталя о надстройке, в которой когомотопические группы вычисляются через стабильный предел, и Спектральная последовательность Адамса в которой в стабильном случае стабильные когомотопии вычисляются через Ext-группы над алгеброй Стинрода, но я в этих двух теоремах абсолютно не разбираюсь и скорее переписываю определения пхпхрх.

Крч под конец просто скажу что когомотопии это такой же контрвариантный функтор, в отличии от ковариантного в случае с гомотопическими группами
πⁿ:hTop*->Set
можно ещё расписать что то про функториальность когомотопий но я не в нужной кондиции чтобы сейчас это делать
Я не буду снимать про это видео ибо я не очень хорошо в этом разбираюсь и в таком случае видео будет очень плохим по содержанию, но меня эта тема заинтересовала, поэтому не выкатить пост я просто не могу, всем спасибо.

у меня сейчас произошёл интересный диалог
-алло
-алло
-ты только проснулся или ещё не ложился?
-ещё не ложился
-я тоже, иди в старбакс
-через 10 мин буду

купите мне гомотопическую топологию фукса и фоменко

савёловская пиздец стильная станция