🤖 Хакинг утверждает, что вся многовековая философия математики произрастает из двух фундаментальных источников удивления.

1. Древний источник: Опыт доказательства. Первым источником является сам феномен доказательства — опыт, когда "просто думая" , человек приходит к полной и несомненной уверенности в новом и часто неочевидном факте. Этот опыт порождает ощущение исследования объективной, существующей вне человека реальности. Именно это, по Хакингу, поразило Платона и стало отправной точкой для метафизики, известной как платонизм.

Хакинг выделяет два идеала доказательства:

- Картезианское доказательство: Интуитивно ясное, обозримое доказательство, которое можно "схватить" целиком, получив полное понимание того, почему утверждение истинно. В качестве примера он приводит элегантное доказательство невозможности разрезать куб на конечное число неравных кубов.

- Лейбницианское доказательство: Тщательно прописанная последовательность шагов, каждый из которых можно механически проверить на корректность. Этот идеал сегодня воплощен в компьютерных доказательствах и системах автоматической верификации.

2. Источник эпохи Просвещения: Применение. Второй источник удивления — это "загадочное соответствие природы математике и математики природе". Кант, по мнению Хакинга, построил значительную часть своей философии, пытаясь ответить на вопрос: как чистая математика, продукт человеческого разума, может так идеально описывать мир природы?. Это удивление позже было сформулировано Юджином Вигнером как "непостижимая эффективность математики в естественных науках". Хакинг подчеркивает, что эта эффективность проявляется не только в физике, но и внутри самой математики, как, например, в применении арифметики к геометрии, что было продемонстрировано Декартом.

Центральный вывод Хакинга состоит в том, что оба этих столпа — доказательство и проблема применения (в её современном виде) — являются историческими случайностями, а не сущностными чертами математики как таковой.

Случайность доказательства. Хакинг утверждает, что "золотой стандарт" доказательства в западной математике — это исторический контингентный факт. Он ссылается на пример древней китайской математики, которая была чрезвычайно развита, но фокусировалась на алгоритмах и приближениях, не выработав идеала доказательства, подобного греческому. Появление доказательства в Древней Греции было, по сути, "открытием человеческой способности", которое могло и не произойти.

Случайность деления на "чистую" и "прикладную". Разделение математики на чистую и прикладную — явление недавнее. Оно начало формироваться лишь в конце XVIII века, во многом под влиянием институциональных факторов, таких как создание специализированных инженерных и военных школ во Франции (Политехническая школа) и особый статус арифметики в немецкой традиции после Канта и Гаусса. До этого существовало понятие "смешанной математики" (например, астрономия или оптика), но оно не несло современных коннотаций. Таким образом, сама проблема "применения чистой математики" не могла возникнуть, пока не появилось это разделение.

Хакинг ставит вопрос о том, как развивается математика, предлагая две метафорические модели:

Модель бабочки: Развитие математики предопределено и неизбежно, подобно метаморфозу гусеницы в бабочку.

Латинская модель: Развитие математики случайно и исторически обусловлено, подобно тому как латынь могла эволюционировать в испанский, итальянский или множество других языков, которые так и не появились. Хакинг склоняется ко второй модели.

В заключительных главах книга рассматривает платонизм как неизбежный "призрак", порожденный опытом математического исследования (призракология).

Книга Хакинга приходит к радикальному заключению. Философия математики — это во многом "историческая случайность" ("a fluke of history").

Группа "Моя дорогая"

Как и все остальное, что здесь рекомендую: сочетание оригинальных, простых мелодий и концептуально сильного (но не обязательно заумного, а скорее эмоционального) акцентированного текста. И плевать на спреццатуру.

https://t.me/moyadorogayaband

https://open.spotify.com/artist/0jpxIHHA6cqfbIMhR9gqaY?si=hcvz7r3tRzm-UGJpvvrGZw

https://www.youtube.com/channel/UC5SE8TYH8px_xOZ-CJpt0Kg

⬇️ (+3 песни в комментариях)

Теория групп (математика), если совсем по-простому, изучает симметрии. Не симметриЮ, а симметриИ: сколько их может быть у одного объекта, как их классифицировать и группировать, какие между ними (симметриями) бывают связи.

И вот, классифицируя группы симметрий, а это получился титанический труд на 50+ лет, математики собрали финальный список, куда занесли все оригинальное, что есть в симметриях и что нельзя свести к чему-то более фундаментальному.

В этом списке оказалась группа-Монстр (изначально Дружелюбный Гигант, но математики испугались). Очень уж большая и сложная группа. Тут даже в существовании Бога засомневаешься: как БАЗОВЫМ математическим элементом может оказаться такая чудовищная и некрасивая Хрень? Хотя что за глупости, это на первых этапах так, а затем все оправдают и красоту найдут:

Борчердс, пораженный сложностью и организованностью "Монстра", говорил: "Когда думаешь о Монстре, приходится удивляться, кто его создал! Это почти как в том самом 'разумном замысле'; у Монстра настолько сложная и в то же время организованная структура, что кажется, будто он был кем-то спроектирован".

Вообще, математики, когда открывают нечто неожиданное и специфическое, обычно ощущают, что именно открывают это, а не конструируют. Как будто Монстр существовал и до них в своем платоническом измерении, а они лишь... как Колумб Америку.

***

Но дальше - больше. СЛУЧАЙНО обнаружилась схожесть Монстра с не менее абстрактной и сложной математической структурой, "j-функцией", из иной сферы интересов математики:

Около года назад мне довелось поговорить с Конвеем о том, как появилась эта гипотеза. Он рассказал, что просматривал свежие значения в таблице символов Монстра, для вычисления которых потребовалось так много усилий, а затем спустился в математическую библиотеку и открыл книгу, написанную десятилетиями ранее, с таблицами коэффициентов модулярных функций. И он описал это чувство глубокой жути, когда со страниц старой книги на него посмотрели те же самые числа или их очевидные комбинации.

https://habr.com/ru/articles/422645/

Сложно было поверить в такую связь, открытую случайно, между очень специфическими и большими объектами. Главное, было совершенно непонятно, чем эта связь обоснована.

Идею (связи) назвали "чудовищным вздором" (monstrous moonshine), где "чудовище" - это наш Монстр:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine

***

Moonshine значит еще и "самогон", так что, здесь подразумевается также белая горячка. Тем более, что где-то на фоне истории фигурировала призовая бутылка виски...

***

Связь была подтверждена, но остается не осмысленной (как квантовая физика).

... еще, спустя годы, физики, знакомые с moonshine, нашли как вывести отношения Монстра и j-функции из теории струн. Как вишенка 🍒 на торте.
https://www.scientificamerican.com/article/how-string-theory-solved-maths-monstrous-moonshine-problem/

***

Вывод: часть математики похожа на археологические раскопки. Мы находим различные артефакты, затем связи между ними и только затем представляем, что это все был один город.

Хорошее базовое видео по теме

Еще один "вздор", их там уже целое семейство набралось https://en.wikipedia.org/wiki/Umbral_moonshine

— Если у правши правая рука ведущая, то какая левая? Вспомогательная? Non-dominant - не ведущая, недоведущая. Рука-неудачница в общем, failed рука (как failed state).

— Амбидекстры не имеют вспомогательных рук, только ведущие. В чем при желании возможно тоже найти недостаток. Например, сложнее следовать на автомате исламскому этикету, поскольку руки сложнее различать.

— Противоположность амбидекстрии - амбисинистрия (via Фактрум). Обе руки non-dominant. "Руки из ж***", но с медицинской справкой, так что смеяться грешно.

— Dexter на латыни "правый". А левый - "sinister". Иронично.

— Смешанное преобладание, когда для разных типов задач лучше подходят разные руки. Как та популярная теория, что мастурбировать удобнее левой.

— Кроме ведущей руки, ведущего глаза, можно также выделить и ведущую ногу. Актуально в футболе и других спортивных дисциплинах. Еще ведущее ухо.

— Человек, у которого ведущий глаз правый, а ведущее ухо левое, воспринимает мир не так, как тот, что с комбинацией право-право, тем более, что это все с параметрами мозга связано напрямую.

О https://ru.wikipedia.org/wiki/Когнитивная_метафора (анг. версия)

✨ Центральная идея книги заключается в том, что метафора — это не просто поэтический или риторический приём, а фундаментальный механизм человеческого мышления. Наша обыденная понятийная система, которая определяет, как мы мыслим и действуем, по своей природе метафорична. Метафоры структурируют наш опыт и повседневную деятельность.

Суть метафоры — это понимание и переживание одного явления в терминах другого:

"СПОР — ЭТО ВОЙНА" проявляется в таких выражениях, как "атаковать позицию", "незащищенные утверждения", "выиграть спор". Мы не просто говорим о спорах в терминах войны, но и воспринимаем их так: у нас есть оппонент, мы выстраиваем стратегии, защищаем свои позиции и атакуем чужие.

"ВРЕМЯ — ЭТО ДЕНЬГИ". Эта метафора отражена в выражениях "тратить время", "экономить часы", "вкладывать время". В западной культуре время воспринимается как ценный и ограниченный ресурс, который можно тратить, терять и распределять, что является продуктом индустриального общества.

Типы метафор:

1. Структурные метафоры: Один концепт метафорически структурируется в терминах другого. "СПОР — ЭТО ВОЙНА" и "ВРЕМЯ — ЭТО ДЕНЬГИ" являются примерами структурных метафор. Они позволяют нам использовать одну четко очерченную область опыта (война, деньги) для структурирования другой, менее очерченной (спор, время).

2. Ориентационные метафоры: Эти метафоры организуют целую систему понятий относительно друг друга, в основном через пространственные ориентации (верх-низ, внутри-снаружи, центр-периферия). Они не случайны, а основаны на нашем физическом и культурном опыте.

СЧАСТЬЕ — ВВЕРХ; ГРУСТЬ — ВНИЗ (например, "поднялось настроение", "я в унынии"). Физическая основа: прямая осанка ассоциируется с позитивными эмоциями, а ссутуленная — с грустью.
ЗДОРОВЬЕ — ВВЕРХ; БОЛЕЗНЬ — ВНИЗ (например, "на пике здоровья", "свалился с гриппом").
БОЛЬШЕ — ВВЕРХ; МЕНЬШЕ — ВНИЗ (например, "цены растут", "доходы упали").
ХОРОШЕЕ — ВВЕРХ; ПЛОХОЕ — ВНИЗ (например, "высокое качество", "низкий поступок").

3. Онтологические метафоры: Они позволяют нам рассматривать события, действия, эмоции, идеи и т.д. как некие сущности и субстанции. Это дает нам возможность ссылаться на них, квантифицировать их и рассуждать о них. Например, инфляция рассматривается как сущность:

"ИНФЛЯЦИЯ — ЭТО СУЩНОСТЬ" ("нужно бороться с инфляцией", "инфляция загоняет нас в угол"). Конкретным случаем онтологической метафоры является персонификация, когда нечеловеческому явлению приписываются человеческие качества ("жизнь обманула меня", "эта теория объяснила мне...").

"Высвечивание" и "Сокрытие"
Любая метафора, "высвечивая" одни аспекты концепта, неизбежно "скрывает" другие. Метафора "СПОР — ЭТО ВОЙНА" подчеркивает конфликтные аспекты спора, но скрывает его кооперативные стороны, например, тот факт, что участники тратят свое время на достижение взаимопонимания.

Метонимия
Авторы отличают метафору от метонимии. Если метафора — это понимание одной вещи в терминах другой, то метонимия позволяет одной сущности замещать другую, связанную с ней. Ее основная функция — референциальная (ссылочная). Пример: "햄버거가 계산서를 기다리고 있다" ("Гамбургер ждет свой счет"), где "гамбургер" обозначает для персонала ресторана человека, заказавшего гамбургер. Частным случаем метонимии является синекдоха, где часть замещает целое ("нужны светлые головы" вместо "нужны умные люди").

Когерентность и заземленность понятийной системы
Наша понятийная система "заземлена" в нашем физическом и культурном опыте. Такие понятия, как "ВВЕРХ-ВНИЗ", "ВНУТРИ-СНАРУЖИ", "ОБЪЕКТ", "СУБСТАНЦИЯ" возникают непосредственно из нашего опыта взаимодействия с миром. Менее очерченные понятия (эмоции, идеи) мы осмысляем метафорически через более ясные и конкретные.

Различные метафоры для одного и того же понятия (например, "ЛЮБОВЬ — ЭТО ПУТЕШЕСТВИЕ", "ЛЮБОВЬ — ЭТО ВОЙНА", "ЛЮБОВЬ — ЭТО БЕЗУМИЕ") могут быть несовместимыми, но когерентными, то есть "состыковываться" друг с другом, поскольку они высвечивают разные аспекты одного сложного концепта.

(окончание и примеры)