Пусть p > 5 - простое число. Докажите, что множество {1,2,...,p - 1} можно разделить на два непустых подмножества таким образом, чтобы сумма всех чисел в одном подмножестве и произведение всех чисел в другом подмножестве давали одинаковый остаток по модулю p.

Каждое ребро полного графа с 101 вершиной помечено числом 1 или -1. Известно, что абсолютная величина суммы чисел на всех рёбрах меньше 150. Докажите, что в графе существует путь, проходящий через каждую вершину ровно один раз (гамильтонов путь), такой что сумма чисел на всех рёбрах этого пути равна нулю.

(Причина отсутствия задач на картинке, вот моя задача с конференции Турнира городов, можете почитать там крутой проект) В однокруговом турнире сыграло n команд. Далее 2 спортивные лиги поочереди берут себе ещё не завербованую команду. Может ли первая лига при чётном n добиться того, что команды из неё выиграли хотя бы половину матчей против команд из второй лиги.

Даны натуральные n >= m > 1. Рёбра полного графа на n + [m/2] раскрашены в синий и красный цвет. Докажите, что либо найдётся красный путь длины n, либо синий путь длины m.

В графе с 2n вершинами степень всех вершин 2k-1. Докажите, что все вершины можно разбить на непересекающиеся группки, так чтобы в каждой группе был или гамильтонов путь или гамильтонов цикл. При том группок с путём было не более [n/k]

Пусть G — связный граф с хотя бы 10 вершинами. В его вершинах расставлены натуральные числа. За одну операцию можно увеличить два числа, находящиеся в вершинах, соединённых ребром, на 1. Обязательно ли можно за несколько операций получить расстановку, в которой все числа в вершинах попарно взаимно просты?

На плоскости дано (n-1)^2+1 точек общего положения. Любая пара из них соединена отрезком одного из двух цветов. Докажите, что найдётся одноцветный непересекающийся путь длины хотя бы n.

Дана клетчатая сетка 2025×2025, все границы клеток покрашены в чёрный цвет. За один ход можно выбрать произвольный клетчатый прямоугольник и покрасить его границу в красный цвет (чёрные отрезки границы при этом перекрасятся в красный, а красные останутся красными). За какое наименьшее число ходов можно сделать всю сетку красной?

В таблице n*n закрашены несколько клеток. Каждую секунду закрашивают все клетки которые соседствуют по стороне хотя бы с 2 закрашеными. В итоге весь квадрат n*n закрасился. Какое минимальное число клеток могло быть закрашено изначально?