(Майский перерыв ВСЁ) Выясните, при каких натуральных n ⩾ 4 клетки таблицы 1 × (2n + 1) можно заполнить числами 1, 2, 3, . . ., 2n + 1 так, чтобы выполнялись такие условия: каждое из чисел 1, 2, 3, . . ., 2n + 1 встречается ровно в одной клетке; в любом
прямоугольнике 1 × 3 одно из чисел равно среднему арифметическому двух других; число 1 находится в средней клетке таблицы.

Дорогие друзья, всем привет!

Мы очень рады сообщить, что открываем регистрацию на летнюю смену школы "Комбинаторика и Алгоритмы", которая пройдёт на базе Берендеевы Поляны с 17 по 27 августа 2026 года!

Регистрация: https://combalg.ru/schools/summer26/register/

🤩Приезжайте сами и зовите друзей, которым тоже было бы тоже интересно погрузиться в науку!

👀 Подробную информацию можно найти на нашем сайте.

❤️ Ждём вас в Комбалге!

Единичный квадрат разрезан на n > 1 прямоугольников так, что их стороны параллельны сторонам квадрата. Любая прямая, параллельная стороне квадрата и пересекающая его внутреннюю часть, также пересекает внутреннюю часть некоторого прямоугольника. Докажите, что в этом разрезе существует прямоугольник, ни одна точка которого не лежит на границе квадрата.

Никто не заметил, что я продолбался с номером. Должно быть 211.

Докажите, что число представлений натурального числа n в виде суммы 4 квадратов (с учётом порядка и знаков) равно 8 * (на сумму делителей n не кратных 4)

Каждая точка плоскости с целыми координатами раскрашена в белый или чёрный цвет. Докажите, что есть треугольник площади n с тремя одноцветными вершинами.

Докажите, что для любого натурального числа n существует (не обязательно выпуклый) многоугольник, у которого никакие три вершины не лежат на одной прямой, и который имеет ровно n различных триангуляций.

Существует 2^n аэропортов, пронумерованных двоичными строками длины n. Любые две станции, номера которых отличаются ровно на одну цифру, соединены рейсом, цена которого одинакова в обоих направлениях. Сумма цен всех n рейсов, отправляющихся с любой станции, не превышает 1. Докажите, что между любыми двумя аэропортами можно проехать, заплатив не более 1.

Пусть p > 5 - простое число. Докажите, что множество {1,2,...,p - 1} можно разделить на два непустых подмножества таким образом, чтобы сумма всех чисел в одном подмножестве и произведение всех чисел в другом подмножестве давали одинаковый остаток по модулю p.