Назовём мегакрестом клетчатый квадрат (назовем его центральным), к сторонам которого приложены ещё 4 таких же квадрата так, что вместе они образовывают фигуру в форме креста. На бесконечной белой клетчатой плоскости выбрали несколько мегакрестов (возможно, разного размера), все их клетки покрасили в синий цвет. Все клетки плоскости, покрытые хотя бы одним центральным квадратом назовем красивыми. Докажите, что синих клеток не более чем в пять раз больше, чем красивых.

По кругу выписаны числа от 1 до 𝑛^2. Разрешается менять местами два стоящих рядом числа, если эти два числа не меняли местами раньше. Докажите, что если сделано не больше 𝑛^3/2025 таких операций, то можно сделать ещё одну.

(Золото откопанное на помойке (не в обиду составителям олимпиады)) Плоскую фигуру удалось разрезать на n квадратов со сторонами 1, (11/10), (11/10)^2, (11/10)^3 ... (11/10)^(n-1) параллельными осям координат. Докажите, что эту фигуру нельзя разрезать на менее чем n прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат.

Докажите, что максимальных по включению подклик в графе на n вершинах может быть не более чем 3^(n/3).

Прямоугольник разбит на доминошки. Докажите, что его клетки можно так раскрасить в 2 цвета, что в каждой доминошки из данного разбиения клетки будут раскрашены в разные цвета, а в любом другом разбиение найдётся одноцветная доминошка.

Докажите, что число разбиений n на чётное и нечётное число слагаемых различается не более, чем на 1.

Будучи школьником мне очень нравилось кататься в КомбАлг. Всем любителям комбинаторики советую туда скататься хотя бы раз. Вот их официальные тгк(https://t.me/combalg) и сайт(https://combalg.ru/schools/winter26/), там можно прочитать про это всё подробнее.

Докажите, что в связном графе с v вершинами и 2v-2 рёбрами есть цикл при удаление рёбер которого граф не потеряет связности. (Удачи найти число на картинке)

Из задач с региона больше всего мне понравилась 9.10. Вообще регион в этом году довольно хороший, но решая его меня как-то не сопровождало чувство, что решаю я именно регион. Хотя половина задач по прежнему от А. Кузнецова. Надеюсь закл будет составлен не хуже.

Дано натуральное k. Докажите, что существует n, такое что разность между любыми двумя различными простыми делителями n^3-1 хотя бы k.

(Лютый гроб в честь юбилейной задачки и не спрашивайте откуда эта задача) Пусть G - не полный граф с хотя бы k + 1 вершиной. При удаление из него любых x вершин, число компонент связности не превышает x/k. Докажите, что в нём можно удалить некоторые рёбра так, чтобы степень всех вершин была ровно k, если:
а) k - чётное
б) в G чётное число вершин

(Придумал в КомбАлге задачу) Дано натуральное k. Докажите, что существует такое натуральное n, что вершины любого графа без треугольников с m > n вершинами можно раскрасить в m/k цветов.

Дан конечный набор точек на плоскости, каждая из которых имеет целочисленные координаты. Всегда ли возможно раскрасить точки в красный или белый цвет таким образом, чтобы для любой прямой линии L, параллельной одной из координатных осей, разница между количеством белых и красных точек на L не превышает 1.

Бесконечную возрастающую последовательность a_1 < a_2 < a_3 < ... положительных целых чисел назовём центральной, если для каждого положительного целого n среднее арифметическое первых a_n членов последовательности равно a_n. Докажите, что существует бесконечная последовательность положительных целых чисел b_1, b_2, b_3, ... такая, что для любой центральной последовательности a_1, a_2, a_3,... существует бесконечно много n, что a_n = b_n

(Задач давно не было, их выпуск замедлил РКН и ФизТех) В гостинице a > 1 этажей, на каждом этаже b одноместных номеров. На математический конгресс приехали ab математиков. Каждому математику на каждом этаже нравится ровно 1 номер. Докажите, что число способов поселить всех математиков в гостиницу, так чтобы каждому математику нравился его номер, чётно

В компании 2n мальчиков и 2n девочек. Для любых двух мальчиков есть ровно n девочек, которых знает ровно один из них. Докажите, что для любых двух девочек есть ровно n мальчиков, которых знает ровно одна из них.

Докажите, что для любого k, найдётся такое n, что среди любых n точек общего положения найдётся k образующих выпуклую фигуру.

Моя задача с финала ВсОШ этого года. Буду рад если напишите свой отзыв о ней. Также интересно есть ли какие-то решения отличные от моего.