Приближение евклидовой метрики остовными деревьями.

Докладчик: Артур Бикеев

Аннотация:
Для заданного метрического пространства $ (P,\phi) $ древесное покрытие с протяженностью $ t $ - это такой набор деревьев на $ P $, такой что ребра $ (x,y) $ этих деревьев имеют длину $ \phi(x,y) $, и такой, что для любой пары точек $ u, v\in P $ существует дерево $ T $, такое, что индуцированное графовое расстояние в $ T $ между вершинами $ u $ и $ v $ не превышает $ t\cdot \phi(u,v) $.
Известно, что для решетки $ [n]^d $ в $\mathbb R ^d$ существует древесное покрытие размера $ d+1 $ с протяженностью $ O(1) $, однако минимальное возможное количество таких деревьев остается неизвестным. Мы доказали, что для любого набора $ P $ точек на евклидовой плоскости существует древесное покрытие из двух деревьев с протяженностью $ O(1) $. Несмотря на то, что в более высоких размерностях задача все еще не решена, мы также доказали, что для некоторого более сильного варианта задачи о древесном покрытии с протяженностью $ O(1) $ требуется не менее $ (d+1)/2 $ деревьев.

Доклад: 10 декабря (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/live/aFBMpajMnLo

Дорогие друзья,

семинар уходит на зимнюю сессию, и возобновится в следующем семестре вместе со спецкурсом по грубой геометрии. Скорее всего спецкурс и спецсеминар будут в тоже время по средам.

Те из слушателей кто хочет зачесть спецсеминар в Независимом университете — должны написать в личку канала или в комментарии.

Условие "зачёта" — написать небольшое эссе о любом из докладов. Подробнее персонально.

Студентам удачной сессии, и всех с наступающими праздниками.

Появилось расписание НМУ на новый семестр. Наш семинар возобновит работу по средам с 19.20, аудитория 310. В этом канале как и раньше будут публиковаться анонсы.

Также приглашаем тех, кто пока не очень глубоко знаком с грубой геометрией на спец.курс, который будет читаться также по средам в 17.30, в аудитории 310.

Программа курса
* Грубые и борнологические отображения метрических пространств, грубая эквивалентность, графы Кэли.
* Теорема Шварца-Милнора.
* Грубые пространства. Условия геодезичности и метризуемости. Борнологеские группы.
* Концы пространства. Грубые компактификации. Компактификации по Фрейденталю и по Хигсону.
* Ограниченная геометрия. Типы роста метрических пространств.
* Аменабельность. Теорема Фёльнера.
* Произведение Громова. Гиперболичность по Громову.
* Грубые вложения. Doubling-условие. А-свойство.
* Грубые неподвижные точки.
* Грубые гомологии.

Лекции будут читать: А. Арутюнов, О. Муравьёв, А. Наянзин и некоторые другие участники спецсеминара.

Первая лекция будет 11 февраля.

Спецкурс
Плейлист на YouTube
Плейлист на RuTube

Грубые гомологии метрических пространств и групп.

Докладчик: Олег Муравьев

Аннотация:
В рамках доклада планируется обсуждение грубых гомологий пространств. Отдельным важным примером будет случай конечно порожденных групп. Мы поговорим о связи между концами и первыми грубыми гомологиями, докажем, что в случае к.п. групп они могут иметь размерность 0, 1 или быть бесконечно порожденными. Также мы обсудим идеи доказательства аналогичного утверждения для случая старших групп гомологий.

Доклад: 11 февраля (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию появится позднее

Дополнение к докладу, меня просили скинуть литературу по которой был рассказ.

https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/roecoarse.pdf
Учебник Роу в котором есть определение через coarsening space, написано про достаточные условия когда EG будет таким пространством для группы G. Там же далее есть определение через прямой предел нерв-комплексов (обобщение Рипс-комплекса). Это всё находится в главе coarse algebraic topology, начиная со страницы 13.

https://www2.math.upenn.edu/~blockj/papers/large.pdf
Здесь тоже есть определение через Рипс-комплекс и подробнее написано про случай когда наше пространство Х — группа. В частности есть некоторые утверждения для групп с конечным BG, и вообще в тексте много ссылок на работы с которыми стоит ознакомиться для лучшего понимания происходящего (я пока ознакомился не со всем). Это всё начинается со страницы 532.

https://arxiv.org/pdf/1411.2951
Работа Шмидта в которой доказывается, что в первых грубых гомологиях содержится подгруппа, порожденная концами (прямая сумма к-1 копии Z, где к — число концов)

https://arxiv.org/pdf/2411.04745
Статья Марголиса в которой имеются утверждения про грубые когомологии и размерности которыми они могут обладать при некоторых ограничениях на пространство X (тут как раз про 0, 1, inf). Теорема В на странице 3.

Норма Громова.

Докладчик: Андрей Рябичев (ВШМ МФТИ)

Аннотация:
Пусть дано замкнутое ориентируемое многообразие M. Фундаментальный класс [M] можно по-разному представлять как сумму сингулярных симплексов с рациональными коэффициентами. Точная нижняя грань сумм по таким наборам коэффициентов называется симплициальным объёмом M или его нормой Громова.

Несложно убедиться, что сферы и торы (любой положительной размерности) имеют нулевую норму Громова. Для гиперболических же многообразий норма Громова пропорциональна их объёму. Например, для сферы с g≥2 ручками она равна 4g-4. Мы докажем этот факт (по крайней мере в размерности 2).

Для понимания доклада желательно быть знакомыми с сингулярными гомологиями и плоскостью Лобачевского, но в случае необходимости все определения будут быстро напомнены.

Доклад: 18 февраля (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию появится позднее

Ссылка на трансляцию:
https://www.youtube.com/watch?v=8Sh8jndK1Co

Коммутанты прямоугольных групп Кокстера

Докладчик: Федор Вылегжанин (МИАН, ВШЭ)

Аннотация:
Простому графу Г соответствует прямоугольная группа Кокстера RC_Г: она порождена инволюциями, которые соответствуют вершинам графа, причём "смежные" инволюции коммутируют.
Например, если P — простой многогранник с прямыми двугранными углами, то отражения относительно его гиперграней задают действие прямоугольной группы Кокстера на объемлющем пространстве. Коммутант (RC_Г)' этой группы действует свободно (в частности, именно так Лёбелль построил первый пример замкнутого трёхмерного гиперболического многообразия).

Оказывается, что явные классифицирующие пространства прямоугольных групп Кокстера и их коммутантов можно описать на языке полиэдральных произведений: это вещественные пространства Дэвиса--Янушкевича и вещественные момент--угол-комплексы. Это позволяет описать минимальный набор порождающих для (RC_Г)' (Панов, Верёвкин) и получить результаты об определяющих соотношениях (принадлежащие докладчику). Если хватит времени, мы поговорим об аналогичных результатах для прямоугольных групп Артина и других граф-произведений групп.

Доклад: 25 февраля (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию появится позднее

Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/watch?v=cmAtcju7Cxg

Как дополнение к сегодняшней лекции курса по грубой геометрии (напомним ссылки на записи: Плейлист на YouTube, Плейлист на RuTube) рекомендуем слушателям послушать завтрашний (четверг, 26 февраля) доклад на семинаре по некоммутативной геометрии и топологии "Левоинвариантные метрики на счётных группах". Семинар дистанционный в zoom. Начало в 16.45. Прямая ссылка на трансляцию будет в комментариях.

На днях будет выложен первый листок по курсу и подробные инструкции по сдаче экзамена.

Введение в теорию модельных категорий

Докладчик: Андрей Владимирович Ершов

Аннотация:
В разных математических теориях возникает задача обращения некоторого выделенного класса морфизмов – так называемых слабых эквивалентностей (например, квазиизоморфизмов в гомологической алгебре) чтобы получить соответствующую гомотопическую категорию. Если при этом на рассматриваемой категории можно ввести модельную структуру, то морфизмы между любыми двумя объектами гомотопической категории (после некоторой замены их на слабо эквивалентные ``хорошие’’ объекты, например, проективные резольвенты) допускают описание в терминах гомотопических классов отображений. В докладе планируется дать элементарное введение в теорию модельных категорий с примерами и мотивировками из топологии и гомологической алгебры.

Доклад: 4 марта (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию появится позднее

Объявления для слушателей курса по грубой геометрии.

1. Листок 1 в приложении (CG-1.pdf). Критерий сдачи листка — не менее 10 задач.

2. В приложении конспект лекций прошлого года. В этом году лекции несколько отличаются, но для общего понимания и чтобы сориентирваться в литературе — он подойдёт.

3. По курсу будет несколько (4 или 5) листков. Оценка ставится следующим образом: 2 сданных листка — удовлетворительно, 3 — хорошо, 4 — отлично. При этом, для получения оценки "отлично" в конце курса нужно сдать устный экзамен. Также устный экзамен могут сдать все желающие, и получить + балл к оценке за листки.

Для сдачи листков нужно написать в чат (комментарии к этому посту) о своём желании сдать задачи (либо написать кому-то из лекторов курса напрямую). Также листки можно сдать вживую после лекций.

Желательно сдавать не по одной задаче, но в целом не обязательно сдавать "всё сразу".

Вопросы — пишите без стеснения 😊

https://www.youtube.com/live/a5Y10VQbOvg

Ссылка на трансляцию

Дополнительные материалы от докладчика:

- доклад был по статье
- главная книга по общей теории групп Кокстера — это Davis "Geometry and Topology of Coxeter groups",
- ответ на вопрос "какие группы Кокстера гиперболичны?" — критерий Муссонга (следствие 12.6.3 в книжке Дэвиса). Кажется, для прямоугольных групп Кокстера оно расшифровывается так):
RC_Г гиперболична <=> в графе Г "нет пустых квадратов" (в любом 4-цикле есть диагональ)
- вообще, о гиперболичности граф-произведений групп есть статья Мейера.

Во второй части доклада планируется рассказать про гомотопическую категорию модельной категории,
а также дать определение и привести примеры производных функторов.

Доклад: 11 марта (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.

Ссылка на трансляцию

В среду 18го марта спецкурс и семинар отменяются. Через неделю, 25го марта продолжим.

В ближайшую среду лекция и семинар будут на одну тему:

Понятие близости множеств в грубых пространствах и его связь с компактификацией Хигсона

Докладчик: Иван Свитавский

Аннотация: Грубые структуры описывают какие множества пар точек находятся на контролируемом расстоянии, мы же в первой части доклада с помощью этого определим, какие множества можно считать близкими/похожими (на бесконечности). Однако окажется, что разные грубые структуры могут порождать одинаковые классы близких множеств, что мотивирует введение соответствующего отношения эквивалентности на множестве грубых структур. При этом классы эквивалентности грубых структур будут иметь максимальных представителей, которые ещё и обладают некоторыми хорошими свойствами.

Во второй части доклада, мы обсудим, как введённые понятия близости/похожести множеств помогают построить на компактификации Стоуна-Чеха явное отношение эквивалентности, факторизация по которому даёт компактификацию Хигсона

Доклад: 25 марта (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию появится позднее

Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/watch?v=PBmcbL3VfnM