Ограниченная геометрия и свойство А.

Докладчик: Владимир Маркович Мануйлов.

Аннотация: Важность свойства А для пространств ограниченной геометрии обусловлена, в частности, тем, что многие близкие свойства совпадают. За пределами пространств ограниченной геометрии эти свойства расходятся. Вообще говоря, свойство А и ограниченная геометрия находятся в общем положении. Пример Новака показывает, что без ограниченной геометрии свойство А может отсутствовать даже для "коммутативных" примеров, что вызывает вопрос о том, может ли неограниченная геометрия быть единственной причиной отсутствия свойства А. Мы предъявим класс равномерно дискретных метрических пространств, для которых ограниченная геометрия равносильна свойству А. Этот класс --- пространства простых путей в некотором классе графов.

Доклад: 29 октября (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/live/acgX1vL-gjs

Топологическая группа Брауэра и ее обобщения.

Докладчик: Ершов Андрей Владимирович.

Аннотация:
В первой части доклада планируется рассказать о классических результатах о топологической группе Брауэра и ее применении для построения скрученной $K$-теории.
Во второй части доклада я расскажу о результатах и гипотезах, касающихся обобщенной топологической группы Брауэра, возникшей из задачи геометрического описания ``высших’’ скручиваний топологической $K$-теории. В частности, один из вариантов такого обобщения получается при замене локально-тривиальных расслоений на матричные алгебры расслоениями UHF-алгебр.

Доклад: 5 ноября (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/live/R_j_zVSbLok

Патологические C*-алгебры и теория фреймов.

Докладчик: Фуфаев Денис Владимирович.

Аннотация:
В теории гильбертовых пространств есть понятие фрейма, которое обобщает понятие ортогонального базиса. Его также можно определить и в контексте гильбертовых C*-модулей. В отличии от ситуации с гильбертовым пространством, в котором фрейм (как и базис) всегда существует, в этом случае это верно не всегда, поэтому возникает вопрос о существовании фрейма для каждого конкретного модуля. Вызывает интерес даже случай простейшего модуля, то есть C*-алгебры, рассматриваемой как модуль над собой. В этом случае вопрос сводится к свойствам самой алгебры. В коммутативном случае, то есть случае алгебры функций на топологическом пространстве, эти свойства можно переформулировать в терминах свойств этого топологического пространства. В докладе мы рассмотрим некоторые классы топологических пространств (с примерами), связь свойств этих классов с наличием фреймов и некоммутативное (то есть, алгебраическое) описание этих пространств.

Доклад: 19 ноября (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/live/P8_7ZKtuXMM?si=vruN5nALAbYCERiB

Грубые гомологии и концы метрических пространств.

Докладчик: Олег Муравьев

Аннотация:
Мы познакомимся с таким грубым инвариантом пространств как грубые гомологии. Помимо очевидного применения данного инварианта, а именно способа обосновать почему два пространства не являются грубо эквивалентными, мы постараемся понять геометрию, которая стоит за данными группами. Например, первые грубые гомологии можно связать с пространством концов. А если позволит время (и психологическое состояние докладчика), мы подумаем о возможной интерпретации высших групп гомологий как "многомерных концов".

Доклад: 26 ноября (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/live/wXQOyWGq1BU

Решётки в грубых пространствах.

Докладчик: Арутюнов Андроник Арамович.

Аннотация:
Будет рассказано о способах исследования решёток в грубых пространствах и возможности построения новых грубых инвариантов. Задача мотивирована изучением дифференцирований на групповых алгебрах и следующим вопросом: при каких условиях алгебры дифференцирований (а также различные их классы) изоморфны.

Будет построен класс потенциалов (функций на решётке), который является грубым  инвариантом, и будет указано, как этот класс применяется к изучению дифференцирований.

Доклад: 3 декабря (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/live/adh6LdYmZJM

Приближение евклидовой метрики остовными деревьями.

Докладчик: Артур Бикеев

Аннотация:
Для заданного метрического пространства $ (P,\phi) $ древесное покрытие с протяженностью $ t $ - это такой набор деревьев на $ P $, такой что ребра $ (x,y) $ этих деревьев имеют длину $ \phi(x,y) $, и такой, что для любой пары точек $ u, v\in P $ существует дерево $ T $, такое, что индуцированное графовое расстояние в $ T $ между вершинами $ u $ и $ v $ не превышает $ t\cdot \phi(u,v) $.
Известно, что для решетки $ [n]^d $ в $\mathbb R ^d$ существует древесное покрытие размера $ d+1 $ с протяженностью $ O(1) $, однако минимальное возможное количество таких деревьев остается неизвестным. Мы доказали, что для любого набора $ P $ точек на евклидовой плоскости существует древесное покрытие из двух деревьев с протяженностью $ O(1) $. Несмотря на то, что в более высоких размерностях задача все еще не решена, мы также доказали, что для некоторого более сильного варианта задачи о древесном покрытии с протяженностью $ O(1) $ требуется не менее $ (d+1)/2 $ деревьев.

Доклад: 10 декабря (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/live/aFBMpajMnLo

Дорогие друзья,

семинар уходит на зимнюю сессию, и возобновится в следующем семестре вместе со спецкурсом по грубой геометрии. Скорее всего спецкурс и спецсеминар будут в тоже время по средам.

Те из слушателей кто хочет зачесть спецсеминар в Независимом университете — должны написать в личку канала или в комментарии.

Условие "зачёта" — написать небольшое эссе о любом из докладов. Подробнее персонально.

Студентам удачной сессии, и всех с наступающими праздниками.

Появилось расписание НМУ на новый семестр. Наш семинар возобновит работу по средам с 19.20, аудитория 310. В этом канале как и раньше будут публиковаться анонсы.

Также приглашаем тех, кто пока не очень глубоко знаком с грубой геометрией на спец.курс, который будет читаться также по средам в 17.30, в аудитории 310.

Программа курса
* Грубые и борнологические отображения метрических пространств, грубая эквивалентность, графы Кэли.
* Теорема Шварца-Милнора.
* Грубые пространства. Условия геодезичности и метризуемости. Борнологеские группы.
* Концы пространства. Грубые компактификации. Компактификации по Фрейденталю и по Хигсону.
* Ограниченная геометрия. Типы роста метрических пространств.
* Аменабельность. Теорема Фёльнера.
* Произведение Громова. Гиперболичность по Громову.
* Грубые вложения. Doubling-условие. А-свойство.
* Грубые неподвижные точки.
* Грубые гомологии.

Лекции будут читать: А. Арутюнов, О. Муравьёв, А. Наянзин и некоторые другие участники спецсеминара.

Первая лекция будет 11 февраля.

Спецкурс
Плейлист на YouTube
Плейлист на RuTube

Грубые гомологии метрических пространств и групп.

Докладчик: Олег Муравьев

Аннотация:
В рамках доклада планируется обсуждение грубых гомологий пространств. Отдельным важным примером будет случай конечно порожденных групп. Мы поговорим о связи между концами и первыми грубыми гомологиями, докажем, что в случае к.п. групп они могут иметь размерность 0, 1 или быть бесконечно порожденными. Также мы обсудим идеи доказательства аналогичного утверждения для случая старших групп гомологий.

Доклад: 11 февраля (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию появится позднее

Дополнение к докладу, меня просили скинуть литературу по которой был рассказ.

https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/roecoarse.pdf
Учебник Роу в котором есть определение через coarsening space, написано про достаточные условия когда EG будет таким пространством для группы G. Там же далее есть определение через прямой предел нерв-комплексов (обобщение Рипс-комплекса). Это всё находится в главе coarse algebraic topology, начиная со страницы 13.

https://www2.math.upenn.edu/~blockj/papers/large.pdf
Здесь тоже есть определение через Рипс-комплекс и подробнее написано про случай когда наше пространство Х — группа. В частности есть некоторые утверждения для групп с конечным BG, и вообще в тексте много ссылок на работы с которыми стоит ознакомиться для лучшего понимания происходящего (я пока ознакомился не со всем). Это всё начинается со страницы 532.

https://arxiv.org/pdf/1411.2951
Работа Шмидта в которой доказывается, что в первых грубых гомологиях содержится подгруппа, порожденная концами (прямая сумма к-1 копии Z, где к — число концов)

https://arxiv.org/pdf/2411.04745
Статья Марголиса в которой имеются утверждения про грубые когомологии и размерности которыми они могут обладать при некоторых ограничениях на пространство X (тут как раз про 0, 1, inf). Теорема В на странице 3.

Норма Громова.

Докладчик: Андрей Рябичев (ВШМ МФТИ)

Аннотация:
Пусть дано замкнутое ориентируемое многообразие M. Фундаментальный класс [M] можно по-разному представлять как сумму сингулярных симплексов с рациональными коэффициентами. Точная нижняя грань сумм по таким наборам коэффициентов называется симплициальным объёмом M или его нормой Громова.

Несложно убедиться, что сферы и торы (любой положительной размерности) имеют нулевую норму Громова. Для гиперболических же многообразий норма Громова пропорциональна их объёму. Например, для сферы с g≥2 ручками она равна 4g-4. Мы докажем этот факт (по крайней мере в размерности 2).

Для понимания доклада желательно быть знакомыми с сингулярными гомологиями и плоскостью Лобачевского, но в случае необходимости все определения будут быстро напомнены.

Доклад: 18 февраля (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию появится позднее

Ссылка на трансляцию:
https://www.youtube.com/watch?v=8Sh8jndK1Co

Коммутанты прямоугольных групп Кокстера

Докладчик: Федор Вылегжанин (МИАН, ВШЭ)

Аннотация:
Простому графу Г соответствует прямоугольная группа Кокстера RC_Г: она порождена инволюциями, которые соответствуют вершинам графа, причём "смежные" инволюции коммутируют.
Например, если P — простой многогранник с прямыми двугранными углами, то отражения относительно его гиперграней задают действие прямоугольной группы Кокстера на объемлющем пространстве. Коммутант (RC_Г)' этой группы действует свободно (в частности, именно так Лёбелль построил первый пример замкнутого трёхмерного гиперболического многообразия).

Оказывается, что явные классифицирующие пространства прямоугольных групп Кокстера и их коммутантов можно описать на языке полиэдральных произведений: это вещественные пространства Дэвиса--Янушкевича и вещественные момент--угол-комплексы. Это позволяет описать минимальный набор порождающих для (RC_Г)' (Панов, Верёвкин) и получить результаты об определяющих соотношениях (принадлежащие докладчику). Если хватит времени, мы поговорим об аналогичных результатах для прямоугольных групп Артина и других граф-произведений групп.

Доклад: 25 февраля (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию появится позднее

Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/watch?v=cmAtcju7Cxg

Как дополнение к сегодняшней лекции курса по грубой геометрии (напомним ссылки на записи: Плейлист на YouTube, Плейлист на RuTube) рекомендуем слушателям послушать завтрашний (четверг, 26 февраля) доклад на семинаре по некоммутативной геометрии и топологии "Левоинвариантные метрики на счётных группах". Семинар дистанционный в zoom. Начало в 16.45. Прямая ссылка на трансляцию будет в комментариях.

На днях будет выложен первый листок по курсу и подробные инструкции по сдаче экзамена.

Введение в теорию модельных категорий

Докладчик: Андрей Владимирович Ершов

Аннотация:
В разных математических теориях возникает задача обращения некоторого выделенного класса морфизмов – так называемых слабых эквивалентностей (например, квазиизоморфизмов в гомологической алгебре) чтобы получить соответствующую гомотопическую категорию. Если при этом на рассматриваемой категории можно ввести модельную структуру, то морфизмы между любыми двумя объектами гомотопической категории (после некоторой замены их на слабо эквивалентные ``хорошие’’ объекты, например, проективные резольвенты) допускают описание в терминах гомотопических классов отображений. В докладе планируется дать элементарное введение в теорию модельных категорий с примерами и мотивировками из топологии и гомологической алгебры.

Доклад: 4 марта (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию появится позднее

Объявления для слушателей курса по грубой геометрии.

1. Листок 1 в приложении (CG-1.pdf). Критерий сдачи листка — не менее 10 задач.

2. В приложении конспект лекций прошлого года. В этом году лекции несколько отличаются, но для общего понимания и чтобы сориентирваться в литературе — он подойдёт.

3. По курсу будет несколько (4 или 5) листков. Оценка ставится следующим образом: 2 сданных листка — удовлетворительно, 3 — хорошо, 4 — отлично. При этом, для получения оценки "отлично" в конце курса нужно сдать устный экзамен. Также устный экзамен могут сдать все желающие, и получить + балл к оценке за листки.

Для сдачи листков нужно написать в чат (комментарии к этому посту) о своём желании сдать задачи (либо написать кому-то из лекторов курса напрямую). Также листки можно сдать вживую после лекций.

Желательно сдавать не по одной задаче, но в целом не обязательно сдавать "всё сразу".

Вопросы — пишите без стеснения 😊