Topological coupling и его применение в контексте комбинаторной теории групп
Докладчик: Муравьёв Олег.
Аннотация:
Главными героями доклада будут: изометрические, грубые, квазилипшицевые, а так же билипшицевые отображения (знание данных определений предполагается достаточным для восприятия рассказа). Мы постараемся понять как они соотносятся между собой. Основной целью будет продемонстрировать способы переходить от аналитического языка к более "алгебраическому" в контексте комбинаторной теории групп.
Мы поговорим про topological coupling и, если позволит время, о локально финитных гомологиях.

Доклад: 1 октября (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию появится позже.

только дата 1 октября, конечно

Инвариантные меры на R
Докладчица: Екатерина Дженжер.
Аннотация:
Как известно, не существует трансляционно-инвариантной, конечной, сигма-аддитивной меры на прямой. Мы откажемся от сигма-аддитивности и обсудим построение семейства банаховых мер, полученных с помощью предела по ультрафильтру. Мы построим интеграл по банаховой мере и обсудим преобразование Фурье по ней.

Доклад: 8 октября (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию:
https://www.youtube.com/live/ZlfSOjsynqY?si=eCZagkeJ9dhbupTX

Понятие асимптотической схожести множеств и компактификация Хигсона.
Докладчик: Иван Свитавский.
Аннотация:
Доклад начнётся с построения некоторого отношения между подмножествами метрического пространства, которое будет характеризовать их "близость". Обсудив его свойства, мы поймём, что основные понятия грубой геометрии (ограниченность, грубость и близость отображений) выражаются с помощью него, тем самым это даёт возможность обобщить грубые пространства на множества, с зафиксированными на них бинарными отношениями (называемыми асимптотическими схожестями - asymptotic resemblance - A.R.) между подмножествами. После этого мы поговорим про компактификацию Хигсона, а именно: построим отношение эквивалентности на компактификации Стоуна-Чеха, описываемое в терминах асимптотической схожести, и докажем, что факторизация по нему даст именно компактификацию Хигсона.

Доклад: 15 октября (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/live/RYXxV8iKC94

Понятие асимптотической схожести множеств и компактификация Хигсона, часть 2
Докладчик: Иван Свитавский
Аннотация:
Мы начнём с небольшого напоминания основных определений, которые обсуждались в прошлый раз. После этого поговорим более подробно об асимптотической дизъюнктности множеств в метрическом пространстве и докажем, что метрические пространства являются асимптотически нормальными. Наконец, за оставшееся время с помощью введённых понятий мы построим отношение эквивалентности на компактификации Стоуна-Чеха, факторизация по которому даст компактификацию Хигсона.

Доклад: 22 октября (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/live/vbxry76sIFg?si=FM1BhvaluLe6ed57

Ограниченная геометрия и свойство А.

Докладчик: Владимир Маркович Мануйлов.

Аннотация: Важность свойства А для пространств ограниченной геометрии обусловлена, в частности, тем, что многие близкие свойства совпадают. За пределами пространств ограниченной геометрии эти свойства расходятся. Вообще говоря, свойство А и ограниченная геометрия находятся в общем положении. Пример Новака показывает, что без ограниченной геометрии свойство А может отсутствовать даже для "коммутативных" примеров, что вызывает вопрос о том, может ли неограниченная геометрия быть единственной причиной отсутствия свойства А. Мы предъявим класс равномерно дискретных метрических пространств, для которых ограниченная геометрия равносильна свойству А. Этот класс --- пространства простых путей в некотором классе графов.

Доклад: 29 октября (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/live/acgX1vL-gjs

Топологическая группа Брауэра и ее обобщения.

Докладчик: Ершов Андрей Владимирович.

Аннотация:
В первой части доклада планируется рассказать о классических результатах о топологической группе Брауэра и ее применении для построения скрученной $K$-теории.
Во второй части доклада я расскажу о результатах и гипотезах, касающихся обобщенной топологической группы Брауэра, возникшей из задачи геометрического описания ``высших’’ скручиваний топологической $K$-теории. В частности, один из вариантов такого обобщения получается при замене локально-тривиальных расслоений на матричные алгебры расслоениями UHF-алгебр.

Доклад: 5 ноября (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/live/R_j_zVSbLok

Патологические C*-алгебры и теория фреймов.

Докладчик: Фуфаев Денис Владимирович.

Аннотация:
В теории гильбертовых пространств есть понятие фрейма, которое обобщает понятие ортогонального базиса. Его также можно определить и в контексте гильбертовых C*-модулей. В отличии от ситуации с гильбертовым пространством, в котором фрейм (как и базис) всегда существует, в этом случае это верно не всегда, поэтому возникает вопрос о существовании фрейма для каждого конкретного модуля. Вызывает интерес даже случай простейшего модуля, то есть C*-алгебры, рассматриваемой как модуль над собой. В этом случае вопрос сводится к свойствам самой алгебры. В коммутативном случае, то есть случае алгебры функций на топологическом пространстве, эти свойства можно переформулировать в терминах свойств этого топологического пространства. В докладе мы рассмотрим некоторые классы топологических пространств (с примерами), связь свойств этих классов с наличием фреймов и некоммутативное (то есть, алгебраическое) описание этих пространств.

Доклад: 19 ноября (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/live/P8_7ZKtuXMM?si=vruN5nALAbYCERiB

Грубые гомологии и концы метрических пространств.

Докладчик: Олег Муравьев

Аннотация:
Мы познакомимся с таким грубым инвариантом пространств как грубые гомологии. Помимо очевидного применения данного инварианта, а именно способа обосновать почему два пространства не являются грубо эквивалентными, мы постараемся понять геометрию, которая стоит за данными группами. Например, первые грубые гомологии можно связать с пространством концов. А если позволит время (и психологическое состояние докладчика), мы подумаем о возможной интерпретации высших групп гомологий как "многомерных концов".

Доклад: 26 ноября (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/live/wXQOyWGq1BU

Решётки в грубых пространствах.

Докладчик: Арутюнов Андроник Арамович.

Аннотация:
Будет рассказано о способах исследования решёток в грубых пространствах и возможности построения новых грубых инвариантов. Задача мотивирована изучением дифференцирований на групповых алгебрах и следующим вопросом: при каких условиях алгебры дифференцирований (а также различные их классы) изоморфны.

Будет построен класс потенциалов (функций на решётке), который является грубым  инвариантом, и будет указано, как этот класс применяется к изучению дифференцирований.

Доклад: 3 декабря (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/live/adh6LdYmZJM

Приближение евклидовой метрики остовными деревьями.

Докладчик: Артур Бикеев

Аннотация:
Для заданного метрического пространства $ (P,\phi) $ древесное покрытие с протяженностью $ t $ - это такой набор деревьев на $ P $, такой что ребра $ (x,y) $ этих деревьев имеют длину $ \phi(x,y) $, и такой, что для любой пары точек $ u, v\in P $ существует дерево $ T $, такое, что индуцированное графовое расстояние в $ T $ между вершинами $ u $ и $ v $ не превышает $ t\cdot \phi(u,v) $.
Известно, что для решетки $ [n]^d $ в $\mathbb R ^d$ существует древесное покрытие размера $ d+1 $ с протяженностью $ O(1) $, однако минимальное возможное количество таких деревьев остается неизвестным. Мы доказали, что для любого набора $ P $ точек на евклидовой плоскости существует древесное покрытие из двух деревьев с протяженностью $ O(1) $. Несмотря на то, что в более высоких размерностях задача все еще не решена, мы также доказали, что для некоторого более сильного варианта задачи о древесном покрытии с протяженностью $ O(1) $ требуется не менее $ (d+1)/2 $ деревьев.

Доклад: 10 декабря (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/live/aFBMpajMnLo

Дорогие друзья,

семинар уходит на зимнюю сессию, и возобновится в следующем семестре вместе со спецкурсом по грубой геометрии. Скорее всего спецкурс и спецсеминар будут в тоже время по средам.

Те из слушателей кто хочет зачесть спецсеминар в Независимом университете — должны написать в личку канала или в комментарии.

Условие "зачёта" — написать небольшое эссе о любом из докладов. Подробнее персонально.

Студентам удачной сессии, и всех с наступающими праздниками.

Появилось расписание НМУ на новый семестр. Наш семинар возобновит работу по средам с 19.20, аудитория 310. В этом канале как и раньше будут публиковаться анонсы.

Также приглашаем тех, кто пока не очень глубоко знаком с грубой геометрией на спец.курс, который будет читаться также по средам в 17.30, в аудитории 310.

Программа курса
* Грубые и борнологические отображения метрических пространств, грубая эквивалентность, графы Кэли.
* Теорема Шварца-Милнора.
* Грубые пространства. Условия геодезичности и метризуемости. Борнологеские группы.
* Концы пространства. Грубые компактификации. Компактификации по Фрейденталю и по Хигсону.
* Ограниченная геометрия. Типы роста метрических пространств.
* Аменабельность. Теорема Фёльнера.
* Произведение Громова. Гиперболичность по Громову.
* Грубые вложения. Doubling-условие. А-свойство.
* Грубые неподвижные точки.
* Грубые гомологии.

Лекции будут читать: А. Арутюнов, О. Муравьёв, А. Наянзин и некоторые другие участники спецсеминара.

Первая лекция будет 11 февраля.

Спецкурс
Плейлист на YouTube
Плейлист на RuTube

Грубые гомологии метрических пространств и групп.

Докладчик: Олег Муравьев

Аннотация:
В рамках доклада планируется обсуждение грубых гомологий пространств. Отдельным важным примером будет случай конечно порожденных групп. Мы поговорим о связи между концами и первыми грубыми гомологиями, докажем, что в случае к.п. групп они могут иметь размерность 0, 1 или быть бесконечно порожденными. Также мы обсудим идеи доказательства аналогичного утверждения для случая старших групп гомологий.

Доклад: 11 февраля (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию появится позднее

Дополнение к докладу, меня просили скинуть литературу по которой был рассказ.

https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/roecoarse.pdf
Учебник Роу в котором есть определение через coarsening space, написано про достаточные условия когда EG будет таким пространством для группы G. Там же далее есть определение через прямой предел нерв-комплексов (обобщение Рипс-комплекса). Это всё находится в главе coarse algebraic topology, начиная со страницы 13.

https://www2.math.upenn.edu/~blockj/papers/large.pdf
Здесь тоже есть определение через Рипс-комплекс и подробнее написано про случай когда наше пространство Х — группа. В частности есть некоторые утверждения для групп с конечным BG, и вообще в тексте много ссылок на работы с которыми стоит ознакомиться для лучшего понимания происходящего (я пока ознакомился не со всем). Это всё начинается со страницы 532.

https://arxiv.org/pdf/1411.2951
Работа Шмидта в которой доказывается, что в первых грубых гомологиях содержится подгруппа, порожденная концами (прямая сумма к-1 копии Z, где к — число концов)

https://arxiv.org/pdf/2411.04745
Статья Марголиса в которой имеются утверждения про грубые когомологии и размерности которыми они могут обладать при некоторых ограничениях на пространство X (тут как раз про 0, 1, inf). Теорема В на странице 3.

Норма Громова.

Докладчик: Андрей Рябичев (ВШМ МФТИ)

Аннотация:
Пусть дано замкнутое ориентируемое многообразие M. Фундаментальный класс [M] можно по-разному представлять как сумму сингулярных симплексов с рациональными коэффициентами. Точная нижняя грань сумм по таким наборам коэффициентов называется симплициальным объёмом M или его нормой Громова.

Несложно убедиться, что сферы и торы (любой положительной размерности) имеют нулевую норму Громова. Для гиперболических же многообразий норма Громова пропорциональна их объёму. Например, для сферы с g≥2 ручками она равна 4g-4. Мы докажем этот факт (по крайней мере в размерности 2).

Для понимания доклада желательно быть знакомыми с сингулярными гомологиями и плоскостью Лобачевского, но в случае необходимости все определения будут быстро напомнены.

Доклад: 18 февраля (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию появится позднее

Ссылка на трансляцию:
https://www.youtube.com/watch?v=8Sh8jndK1Co

Коммутанты прямоугольных групп Кокстера

Докладчик: Федор Вылегжанин (МИАН, ВШЭ)

Аннотация:
Простому графу Г соответствует прямоугольная группа Кокстера RC_Г: она порождена инволюциями, которые соответствуют вершинам графа, причём "смежные" инволюции коммутируют.
Например, если P — простой многогранник с прямыми двугранными углами, то отражения относительно его гиперграней задают действие прямоугольной группы Кокстера на объемлющем пространстве. Коммутант (RC_Г)' этой группы действует свободно (в частности, именно так Лёбелль построил первый пример замкнутого трёхмерного гиперболического многообразия).

Оказывается, что явные классифицирующие пространства прямоугольных групп Кокстера и их коммутантов можно описать на языке полиэдральных произведений: это вещественные пространства Дэвиса--Янушкевича и вещественные момент--угол-комплексы. Это позволяет описать минимальный набор порождающих для (RC_Г)' (Панов, Верёвкин) и получить результаты об определяющих соотношениях (принадлежащие докладчику). Если хватит времени, мы поговорим об аналогичных результатах для прямоугольных групп Артина и других граф-произведений групп.

Доклад: 25 февраля (среда), НМУ, аудитория 310, начало в 19.20.
Ссылка на трансляцию появится позднее

Ссылка на трансляцию: https://www.youtube.com/watch?v=cmAtcju7Cxg