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三位北大校友突破65年数学难题证明126维空间“末日假说”

△图源：北京大学数学科学学院他们这次解决的是高维拓扑学中的核心难题之一，也被称为“末日假说”：如果该假说被证伪，许多基于它建立的所有其他猜想都将被推翻！Kervaire不变量用于判断流形能否通过特定方法转化为球体。当一个流形可以精确地转化为球体时，该不变量等于零；无法转化为球体时，该不变量等于1。到了1960年，数学家们已经证明Kervaire不变量为1的流形存在于维度2、6、14、30中。前面的问题背景介绍都看不懂也没关系，观察这四个数字很容易得出他们似乎满足2^n-2的规律。数学家们很自然的假设这种流形还会存在于62、126、254等维度，但证明止步于62维，后面停滞了几十年未取得进展。直到2009年，终于有人证明了大于等于254维时这样的流形不存在，至此，126维成为了全部问题的最后一块拼图。林伟南、王国祯、徐宙利三人这次证明126维的方法结合了计算机计算和理论见解，被学术界评价为“堪称一项宏伟的工程”。从105种可能性到唯一解几十年来，数学家们都在好奇一个问题：哪些维度存在一些奇怪的形状，其扭曲到即使利用特殊手段也无法转化为球体。通俗理解，每增加一个维度就意味着创造了一个新的移动方向，而不同维度都有各自的特性。比如在第8维和第24维（下图），数学家已经证明这两个维度可以让球体排列得特别紧密。而在其他维度中，球体的排列可能就没那么完美，甚至看起来有些“皱巴巴”的，就像一个被揉皱的纸团一样。通过找出这些具有扭曲形状的维度，数学家们可以更好地理解不同维度空间的性质和规律。而在林伟南等人的研究之前，数学家已经发现这些扭曲形状存在于第2、6、14、30和62维空间中，并且排除了除第126维之外的其他情况。也就是说，唯一不确定的第126维，现在已经被他们最终解决了。不过要想弄清楚他们是如何解决这个问题的，我们还得回顾一下前人取得的一些进展。相关研究最早可以追溯到20世纪50年代，数学家John Milnor引入了目前流形研究中的一种通用方法——surgery（手术）。其中，流形在数学中指一个复杂的形状，比如一个弯曲的表面或更高维度的空间。而surgery就像是对这个形状进行“整形”。需要先切掉一部分，然后沿着切口的边缘把新的部分缝上去。这个过程必须非常小心，不能留下任何尖锐的角或边缘，因为数学家希望新的形状是平滑的，就像一个完美的球面一样。甚至当涉及到扭曲形状时，surgery还必须符合流形的“框架”，即流形在空间中的摆放位置。比如在下面这个例子中，将一个“甜甜圈”（环面）变成球体，需要经历切割——形状变化——缝合——拓扑等价这几个过程。最终结果是，虽然形状发生了改变，但在拓扑学上却是等价的（基本结构和性质相同）。利用surgery这一方法，数学家们得出以下发现：二维平面不存在奇异球体；在某些更高维度中，surgery可以使一些流形变成普通球体，同时使另一些变成奇异球体；还有一种特殊情况，某些流形无法通过surgery变成球体。这里所谓的奇异球体，是指在某个维度中与普通球体（标准球体）具有相同拓扑性质，但在微分结构上有所不同的球体。微分结构涉及到空间的局部平滑性，比如一个在普通球面上光滑的曲线可能在奇异球面上不光滑。BTW，当初John Milnor就因在七维空间中发现奇异球体而震惊数学界，并且之所以引入surgery，也是想探索不同维度中的奇异球体。基于上述发现，后来的研究聚焦在了第三种特殊情况上——某些流形无法通过surgery变成球体。就像下面这个经过特殊扭曲的二维形状：而为了进一步判断一个流形是否可以通过拓扑surgery变成一个球体，法国数学家Michel Kervaire于1960年正式提出了Kervaire不变量。可以转化为球体，Kervaire不变量为0；无法转化为球体，Kervaire不变量为1。有了这个计算数值，数学家们争相确定不同维度流形的Kervaire不变量。并且几年之内，他们就证明了在第2、6、14和30维空间中存在Kervaire不变量为1的扭曲流形。显然，这几个维度存在一个明显规律：每个数都比2的幂小2。后来在1969年，数学家William Browder证明了这一规律是唯一可能存在Kervaire不变量为1的地方。沿着这一规律，人们自然假设其他维度还包括62、126、254等等，同时还有人基于这一假设提出了大量相关猜想。不过由于假设并未得到完全证明，导致后来的猜想始终“摇摇欲坠”，所以这一假设也被称为“末日假说”。再到后来，两项关键证明出现了：一个是在1984年，数学家们证明了62维确实存在扭曲流形；另一个是在2009年，Hopkins等人证明了满足Kervaire不变量为1的流形不可能存在于254维及以上的空间。排除之后，唯一剩下的只有第126维空间了。还是上面提到的William Browder，他在1969年发现了一个解决第126维问题的关键线索：在亚当斯谱序列第126列中的一个特定点，对于理解该问题至关重要。具体而言，这个点可以告诉我们126维流形是否可以被分类为具有Kervaire不变量为0或1的流形。这里要分为两种情况：其一，如果这个点在亚当斯谱序列的“无限”页（也就是最终页）上存活下来，那么这意味着在126维空间中存在两种类型的流形，即Kervaire不变量为0或Kervaire不变量为1。其二，如果这个点在“无限”页上没有存活下来，那么在126维空间中就只存在一种类型的流形，即Kervaire不变量为0的流形。概括而言，对于第126列中的特殊点，有105种不同的假设方式可能导致它在到达“无限”页之前消失。为了排除这些可能性，林伟南等人进行了合作。其中由林伟南开发的计算机程序，首先排除了101种可能性。后来又花了1年时间，继续排除了最后4种可能。最终他们证明了，William Browder提出的特殊点确实存活到了“无限”页，即第126维具有Kervaire不变量为1的流形。研究团队三位作者中，王国祯和徐宙利在北大数院本科和硕士期间（2004-2011）一直是同学，硕士阶段还是舍友。从北大数院毕业后，王国祯到MIT读博，2016年来到复旦大学上海数学中心从博士后一路做到副教授。△王国祯徐宙利则去了芝加哥大学读博，毕业后先后在MIT、UCSD和UCLA任教，现为UCLA数学系教授。△徐宙利两人一直保持合作关系，截止目前已在数学四大刊上联手发表了3篇论文。林伟南比他们年龄小一些，2011年来到北大数院读本科，后到芝加哥大学读博，徐宙利与林伟南在芝加哥大学都接受Peter May的指导。△林伟南2011年，当徐宙利来到芝加哥大学时就致力于研究流形的计算问题，导师Peter May提议他研究126维Kervaire不变量问题，还把他介绍给这方面的专家西北大学教授Mark Mahowald。Mark Mahowald听说后立即否决了这项提议，他认为126维问题“将是一个终生难题”，并指导徐宙利去研究更低维度的相关问题。仅两年后，Mark Mahowald于2013年不幸去世，徐宙利等人却没有停下研究126维Kervaire不变量问题的脚步。十多年后，当这个这个问题被解决，三位作者特别将这篇具有里程碑意义的论文献给了Mahowald，表达对这位代数拓扑学大师的敬意。论文地址：https://arxiv.org/abs/2412.10879参考链接：[1]https://www.quantamagazine.org/dimension-126-contains-strangely-twisted-shapes-mathematicians-prove-20250505/[2]https://news.ycombinator.com/item?id=43896199[3]https://mp.weixin.qq.com/s/BhdfRDTpR-QH-kf4y3n11w[4]https://pouiyter.github.io[5]https://waynelin92.github.io[6]https://sites.google.com/view/xuzhouli[7]https://www.ams.org/publications/journals/notices/201606/rnoti-p652.pdf ...

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