https://geometry.ru/ad_70.html

Александру Давидовичу Блинкову исполняется 70 лет

по этому поводу в субботу (16.12) в МЦНМО будет “праздничный методический семинар учителей математики” (выступят П.В.Чулков, Ю.А.Блинков, К.М.Столбов, И.А.Эльман, Н.П.Стрелкова, Д.В.Прокопенко, Ю.М.Эдлин)

приглашаются, как обычно, все желающие (организаторы просят только зарегистрироваться); подробности по ссылке

https://www.ams.org/journals/bull/1982-06-03/S0273-0979-1982-15003-0/S0273-0979-1982-15003-0.pdf

статья Тёрстона (“Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry”, 1982) про недавно упоминавшуюся гипотезу геометризации

«A major thrust of mathematics in the late 19th century, in which Poincaré had a large role, was the uniformization theory for Riemann surfaces: that every conformai structure on a closed oriented surface is represented by a Riemannian metric of constant curvature. For the typical case of negative Euler characteristic (genus greater than 1) such a metric gives a hyperbolic structure: any small neighborhood in the surface is isometric to a neighborhood in the hyperbolic plane, and the surface itself is the quotient of the hyperbolic plane by a discrete group of motions. The exceptional cases, the sphere and the torus, have spherical and Euclidean structures.

Three-manifolds are greatly more complicated than surfaces, and I think it is fair to say that until recently there was little reason to expect any analogous theory for manifolds of dimension 3 (or more) — except perhaps for the fact that so many 3-manifolds are beautiful. The situation has changed, so that I feel fairly confident in proposing the

Conjecture. The interior of every compact 3-manifold has a canonical decomposition into pieces which have geometric structures…»

#математика

Есть такие задачки, решение которых не требует знания сложных теорем, но требует определенной гибкости ума и интеллектуальной настойчивости, — они вызывают азарт и доставляют немалое удовольствие в процессе и по факту их решения )).

Сегодня опубликовали новый ролик с одной такой задачкой:

«По морю с постоянными скоростями прямыми непараллельными курсами идут четыре корабля. Известно, что три из них попарно встретились в море. Известно также, что четвёртый корабль встретился сначала с первым, а потом со вторым кораблём. Докажите, что он обязательно встретится, или встретился раньше, также и с третьим кораблём».

Чтобы задачку решить практически в уме, нужно перейти от плоских траекторий кораблей к их мировым линиям в трехмерном (в данном случае) пространстве, у которого «в основании» — плоскость, в которой движутся корабли, а «по вертикальной оси» — время.

Отличие мировых линий от траекторий в том, что из пересечения траекторий вовсе не следует встреча кораблей, а из пересечения мировых линий — следует.

Чтобы не лишать вас удовольствия, не будем здесь приводить полное решение — его можно найти в ролике.

Более сложный вопрос, над котором предлагаем подумать, такой: справедливо ли утверждение задачи в случае движения кораблей не по плоскости, а по поверхности сферы?

P.S. Кажется, что такого рода задачки (не важно по физике или по математике, важно что у них есть изящное и нетрудоемкое решение, если чуточку подумать) — очень важная составляющая любой хорошей системы обучения. Они привносят в процесс элемент игры.

https://www.youtube.com/playlist?list=PLVV0r6CmEsFzDA6mtmKQEgWfcIu49J4nN

сегодня 100 лет со дня рождения Фримена Дайсона (15.12.1923–28.02.2020)

по ссылке — большое интервью с ним

повод еще вспомнить статью Дайсона «Упущенные возможности»

(она цитируется и в замечательной статье Д.Фукса для школьников «О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и упущенных возможностях», которая здесь уже упоминалась, кажется)

картинки по выходным: парабола на клетчатом полу… и она же окружность

// src: https://mathstodon.xyz/@diffgeom/

>>
электрон тетраэдр так же неисчерпаем, как атом треугольник (Ленин Руденко).
>>

Даня Руденко занимался алгебраической геометрией, и по ходу открыл новое тождество для тетраэдров (по ссылке вполне mesmerizing story об этом). После долгих поисков он обнаружил похожее тождество в старинном журнале The Educational Times.

Потом он же сотоварищи сделал сайт с геометрическими задачками из старых журналов.

На сайте тысячи старинных задач с прикрученным поиском. Красота! Практически склеил двух столетий позвонки (в хорошем смысле).

Если есть предложения как улучшить сайт с задачами: предлагайте!

https://arxiv.org/abs/2312.10026

Marcelo Campos, Matthew Jenssen, Marcus Michelen, Julian Sahasrabudhe. A new lower bound for sphere packing

Гауэрс комментирует:

«A great preprint appeared on arXiv this morning … — the first improvement by more than a constant factor to the lower bound for sphere packing in large dimensions since 1947.

(…)

The problem is simple: what is the maximum density, even approximately, of a packing of d-dimensional spheres into R^d? It is known exactly for d=1,2,3,8 and 24 (with 3 being a famous result of Tom Hales and 8 a famous result of Maryna Viazovska).

It is easy to get a lower bound of 2^{-d}. You just pick a maximal set of points in R^d that are distance 2 apart. Then the balls of radius 2 about those points cover all of R^d (or you could add a new point). But now you can take each ball and shrink it by a factor of 2, to obtain a ball of radius 1. Those balls are disjoint (since the points are distance 2 apart), and the volume of each one is 2^{-d} times the volume of the corresponding ball of radius 2. Therefore, since we covered all of R^d before the shrinking, we must cover a proportion at least 2^{-d} after the shrinking. (This is a slight oversimplification of the argument, but it can easily be made rigorous.)

Rogers obtained a bound that multiplied this by a factor of 2d/e (where e is just the number e). The constant 2/e has been improved a few times since then, but this paper obtains a bound of d log(d)/2^{d+1}. It is a major open problem whether one can obtain a lower bound of c^d for some c > 1/2. While this improvement to the bound may seem modest, the problem is notoriously hard, and the method very new, so the smallness of the improvement is highly misleading.

An interesting feature of the proof is that the packing it obtains is not one where the spheres are organized into a nice lattice packing. Rather, the proof makes heavy use of random methods, and produces a “disordered” packing. The best known upper bound, of 2^{-cd} where c is approximately 3/5, is due to Kabatjanskii and Levenstein from a paper published in 1978.»

https://www.mathnet.ru/rus/kvant4170
https://www.mathnet.ru/rus/kvant4189

к юбилею Николая Петровича Долбилина — вот две части его статьи в Кванте этого года как раз про упаковки шаров

https://mccme.ru/nir/seminar/

в четверг (21.12) последний в этом году семинар учителей математики

Николай Андреев и друзья. Геометрия: шарнирные механизмы; особенности; картография; модели сезона-2023

как обычно: 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие

https://ems.press/books/standalone/272

выложены труды ICM-2022

«Following the long and illustrious tradition of the International Congress of Mathematicians, these proceedings include contributions based on the invited talks that were presented at the Congress in 2022.

Published with the support of the International Mathematical Union and edited by Dmitry Beliaev and Stanislav Smirnov, these seven volumes present the most important developments in all fields of mathematics and its applications in the past four years. In particular, they include laudations and presentations of the 2022 Fields Medal winners and of the other prestigious prizes awarded at the Congress.»

сегодня в 18:30 в Центральном доме ученых РАН будет заседание

К 110-летию великого математика И.М.Гельфанда (1913–2009)

Первая часть шестнадцатой проблемы Гильберта содержит в себе вопрос о взаимном расположении овалов вещественной алгебраической кривой на вещественной проективной плоскости -- у нас все кривые вещественны сейчас. Если кривая задана однородным многочленом P(x,y,z)=0 и степень многочлена P равна n, то число ее компонент связности не больше 1/2(n-1)(n-2)+1. Это теорема Харнака, Харнак же построил и пример максимальной кривой степени n.

Насколько я понимаю, эта задача Гильберта -- какие "картинки" могут реализовываться кривыми данной степени -- специалистами признается безнадежной. Для степени 8 максимальная кривая состоит из 22 овалов и осталось реализовать или доказать что невозможно реализовать 6 случаев. И за последние двадцать лет прогресса нет. А с большими степенями все совсем плохо.

Тем самым, следующая теорема Г.Михалкина выглядит совершенно удивительной.

Пусть есть максимальная кривая степени n. А кроме того на проективной плоскости заданы три прямые (не проходящие через одну точку) -- например "оси координат и бесконечноудаленная прямая". Кривая называется максимальной по отношению к этой тройке прямых, если у этой кривой есть компонента, на которой можно выбрать три непересекающиеся дуги, каждая из которых пересекает свою прямую в n точках. (рисунки в комментариях и статье Михалкина https://arxiv.org/pdf/math/0010018.pdf )

Теорема Михалкина говорит, что такая максимальная кривая, максимальная по отношению к трем прямым -- одна (с точностью до гомеоморфизма проективной плоскости). И это та кривая, которую нашел еще Харнак! Очень красивая -- и по формулировке и по доказательству теорема, ради таких теорем стоит изучать математику.

А в вещественной алгебраической геометрии много еще красивого.

вот как эта кривая выглядит (два варианта картинки: для четной и для нечетной степени)

https://www.ihes.fr/~gromov/wp-content/uploads/2018/08/177.pdf

к юбилею Громова — пусть здесь будет его текст про знак и геометрический смысл кривизны

«The curvature tensor of a Riemannian manifold is a little monster of (multi)linear algebra whose full geometric meaning remains obscure. However, one can define using the curvature several significant classes of manifolds and then these can be studied in the spirit of the old-fashioned synthetic geometry with no appeal to the world of infinitesimals where curvature tensors reside…»

Вышел 32-ой номер Математического просвещения

Содержание и некоторые материалы в pdf: https://old.mccme.ru/free-books/matpros-32.html

Купить можно в магазине МЦНМО: https://biblio.mccme.ru/node/225083