Гроб с ММО

Пусть P, Q – произвольные точки на описанной окружности треугольника ABC. Точка Xa на BC такова, что PXa, QXa симметричны относительно BC. Аналогично определим Xb, Xc.
(!) Точки Xa, Xb, Xc лежат на одной прямой

Желаю всем нам удачи на завтрашнем регионе!
Помните, что самое главное это не пройти на закл, а получить удовольствие от решения задач и ни в коем случае не расстаиваться, если что-то не получилось, впереди ещё очень много других олимпиад. Но всё же, пусть геометрия будет пятой, а задачи 1 - 3 полной халявой!

Слив 11.5

На самом деле была задача с ЮМТ в другой формулировке, а в посте её обобщение

Симпатично

Я дурею с этой прикормки

Пусть точки A, B, C, D, E, F таковы, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой и никакие 4 не лежат на одной окружности. Пусть P, Q, R – точки пересечения серединных перпендикуляров к парам отрезков (AD, BE), (BE, CF), (CF, DA). Пусть Po, Qo, Ro – точки пересечения серединных перпендикуляров к парам отрезков (AE, BD), (BF, CE), (CA, DF).
(!) Прямые PPo, QQo, RRo пересекаются в одной точке

Вечерняя разминка

Точка P на стороне произвольная
(!) ∠IcPIb + ∠IcQIb = 180⁰

Жалко, что эту задачу так никто и не решил. Вот короткое гениальное решение:

Рассмотрим функции f(X)=XA²-XD²+XB²-XE², g(X)=XB²-XE²+XC²-XF², h(X)=XA²-XD²+XF²-XC². Они линейные. Имеем f(P)=f(Po)=0, g(Q)=g(Qo)=0, h(R)=h(Ro)=0. Отсюда, PPo, QQo, RRo - прямые нулей функций f, g, h. Также h(X)=f(X)-g(X), откуда моментально следует требуемое.

Ночная разминка с подвохом

ABCD параллелограмм. Точка Н – ортоцентр треугольника ABD, а точка O – центр его описанной окружности. В окружности (AHD) провели хорду XY параллельно стороне AD. Оказалось, что окружность (XYC) касается DC.
(!) В каком отношении хорда XY разбивает отрезок OH?

Задача для тех, кому надоели простые задачи

На сторонах CA и CB остроугольного треугольника АВС отмечены точки X и Y так, что четырёхугольник AXYB вписанный. Окружности (CAB) и (CXY) пересекаются повторно в точке Р. Отрезки АY и ВX пересекаются в точке S. Точки R и Q симметричны S относительно прямых СА и СВ.
(!) Точки Р, Q, R и C коцикличны

Новая разминка по матану

Рассмотрим любой (не обязательно выпуклый) многоугольник с площадью 1.
(!) Существует внутренняя хорда, разделяющая этот многоугольник на две части, площадь каждой из которых не меньше 1/3
(!) Покажите, что 1/3 нельзя заменить на бо‌льшее число

Сверху прикрепил разбор предыдущей разминки:

Очень красивая задача с сегодняшнего доклада Петра Кима про двойственность

Нижние синие точки на сторонах произвольные.
(!) Зелёная прямая касается зелёной окружности

Любить геометрию это хорошо, но русский все равно сдавать, к сожалению, придётся

Рекомендую канал с тестами и шпаргалками, чтобы готовиться к ЕГЭ или ОГЭ в любую минуту и уменьшать количество своих ошибок. Ещё там обсуждают тонкости экзаменов. Так что, канал точно полезный

Задача с BalticWay

Четырехугольник ABCD описан около окружности Г. Отрезок AC пересекает Г в точке E, причем вторая точка пересечения AC с Г лежит между E и C. Пусть F – точка, диаметрально противоположная E в Г. Касательная в точке F к Г пересекает AB, BC, CD, DA в точках Х, Y, Z, T.
(!) XY = ZT

Хочу сделать небольшое объявление

Сейчас начинает свою работу канал Палата вышмата. Я являюсь одним из его админов и создателей. Он посвящен высшей математике, и туда мы будем постить задачи по матану/линалу/топологии и др. Паблик предназначен для студентов и школьников, которые хотят заниматься высшей математикой.
Кому интересно – заходите и наслаждайтесь!

Чтобы пост не был без задач:

Точки P, Q и четырехугольник ABCD таковы, что B, P, Q, C лежат на одной окружности и A, P, Q, D лежат на одной окружности. Точка E на отрезке PQ такова, что ∠PAE = ∠QDE и ∠PBE = ∠QCE.
(!) Точки A, B, C, D лежат на одной окружности

Добрая разминка

Оказалось, что изогонально сопряжённые точки P и Q лежат на одной окружности с двумя вершинами треугольника.
(!) Оставшаяся вершина равноудалена от точек P и Q

Ночная разминка

Кстати, москвичи, как регион?

Крутая задача

3D аналог окружности Конвея

В тетраэдре ABCD на продолжениях ребер AB, AC, AD за вершину A отметили три точки, находящиеся от A на расстоянии, равном полупериметру противолежащей грани BCD, и то же самое проделали с остальными вершинами B, C, D.
(!) Построенные 12 точек лежат на одной сфере тогда и только тогда, когда существует сфера, касающаяся всех рёбер тетраэдра ABCD

Няшная задачка

На боковых сторонах треугольника взяли точки X и Y так, что они лежат на одной окружности с двумя вершинами. Пусть точки M, N, K – середины боковых сторон. Прямые XM и YN пересекаются в P. Прямая PK пересекает боковые стороны треугольника в голубых точках.
(!) Зелёная прямая касается зелёной окружности

Не няшная задачка

На серединном перпендикуляре к нижней стороне выбрана точка. Оранжевые окружности касаются зелёных прямых (соединяющих эту точку с вершинами) и боковых сторон треугольника в их серединах.
(!) Точки пересечения внешних касательных к этим окружностям с нижней стороной треугольника лежат на изогоналях относительно верхнего угла треугольника