Итак, что чем отличается окружность и круг?
Их основные различия в том, что окружность — это просто линия, внутри которой ничего нет, а круг — это уже фигура с заполненным внутри пространством.
• ЦЕНТР (О) — это точка, равноудаленная от всех точек окружности (простыми словами — находится по центру).
• РАДИУС (R) — это отрезок, соединяющий центр с любой точкой на окружности.
• ДИАМЕТР (d) — это хорда, проходящая через центр (d=2R).
• ХОРДА — это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности.
• ДУГА — это часть окружности, ограниченная двумя точками.
• СЕКУЩАЯ — это прямая, пересекающая окружность в двух точках.
• КАСАТЕЛЬНАЯ — это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку (точку касания).
• СЕКТОР — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.
• СЕГМЕНТ — это часть круга, ограниченная хордой и дугой.
• ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ — угол с вершиной в центре окружности.
• ВПИСАННЫЙ УГОЛ — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны — хорды.
1. Длина окружности — l=2πR=πd
‼️ напоминаю, что π ≈ 3.14
2. Площадь круга — S=πR² или S=
3. Длина хорды через центральный угол — AB (хорда)=2R×sin
• Длина хорды через вписанный угол — AB=2R×sin α
4. Длина дуги — l=
5. Площадь сектора — S=
1. Диаметр окружности равен двум радиусам.
2. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.
3. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.
4. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.
5. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен такому же отрезке на другой касательной. (AB=AC). Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы, образованные между этой прямой и касательными будут равны.
6. Две одинаковые хорды стягивают две одинаковые дуги: если хорды AB=CD, то дуги ◡AB=◡CD.
7. Если хорды параллельные, то дуги между ними будут одинаковые:
если хорды AB ∣∣ CD, то ◡AD=◡BC.
8. Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения.
9. Хорды с одинаковой длиной находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
10. Чем больше хорда, тем ближе она к центру.
11. Вписанный угол, который опирается на диаметр будет прямым (90°).
12. Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу.
13. Если два вписанных угла опираются на одну хорду и находятся по различные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.
14. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
Тема оказалась довольно обширной! Не спешите заучивать все сразу, постарайтесь распределить от легкого к более сложному — и учить поочередно! В следующем посте мы расскажем вам про единичную окружность, а сейчас вы можете пройти тест в комментариях!
math with @alnstmath ! #g #p
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
1
ㅤ ㅤ
ㅤㅤㅤ
ㅤ
ㅤㅤчтобы понять, насколько числа разбросаны (сильно ли они отличаются друг от друга), придумали дисперсию и стандартное отклонение.
ㅤ
ㅤ
ㅤ
звучит страшно, но мы сейчас разберёмся!
ㅤㅤ
ㅤу нас есть ряд 3, 5, 5, 3, 4. Считаем среднее арифметическое: (3+5+5+3+4)/5=4;
ㅤㅤпотом возводим наши данные в квадрат и считаем их среднее арифметическое: (3²+5²+5²+3²+4²)/5=9+25+25+9+16/5=84/5=16,8
ㅤпотом возводим первое среднее арифметическое в квадрат: 4²=16;
ㅤㅤзатем вычитаем: (16,8-16)=0,8. Это и есть дисперсия!
ㅤчтобы найти стандартное отклонение, ищем корень из дисперсии: √0,8≈0,89
ㅤㅤВЫВОД заключается в том, что оценки отклоняются от четвёрки примерно на 0,89 баллов.
ЗАПОМНИТЕ! дисперсия всегда ≥0
ㅤ
ㅤ
ㅤㅤ
ㅤ
ㅤ
Теперь Тилл точно уверен, что разобрался с отклонениями, и благодарен Суа за помощь! Проверьте себя простейшими задачами из комментариев.
math with @alnstmath ! #ps
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
На первый урок они решили взять звезды и их яркость.
К примеру, у нашего солнца -26,7, а у самой яркой звезды - Сириус -1,46
От чего же зависит яркость звезд?
1. Расстояние — даже самые маленькие звезды на близком расстояние к Земле могут казаться нам яркими.
2. Мощность — в этом случае, даже если звезда будет находиться далеко, но будет очень горячей и большой, то мы все равно будем ее видеть.
3. Абсолютная звездная велечина (M) — показывает то, как на самом деле светила бы звезда. Для этого обычно звезду помещают на стандартное расстояние 10 парсек.
Возмем в пример Бетельгейзе
Ее видимая велечина(m) – 0,5
Но абсолютная велечина(M) равна -5,6
Так же существует светимость — это полная энергия, которую звезда излучает в космос за секунду. Чаще всего за сравнение берут солнце.
• Голубые звезды — самые горячие, температура превышает 10000°К и обычно очень яркие.
Пример: Ригель, Беллатрикс.
• Желтые звезды — температура превышает 6000°К, средние по светимости.
Пример: Солнце, Капелла.
• Красные звезды — преимущественно старые звезды-гиганты.
Пример: Антарес, Мира.
Тилл наконец-то начал что-то понимать в астрофизике! И благодаря Суа он узнал много нового и интересного.math with @alnstmath ! #ph
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
a, чтобы получить число b.
logₐb=c, где:
a — основание логарифма (при чем a>0 и a≠1)
b и с — любое число (при чем b>0).
Например, log₂8=3, потому что 2³=8.
. .Или же log₅25=2, потому что 5²=25.
1. aᶫᵒᵍₐᵇ=b. К примеру, aᶫᵒᵍ³ ²⁷=27.
2. logₐa=1. К примеру, log₃3=1. Числа могут быть любими, результат всегда 1.
3. logₐ1=0. К примеру, log₃1=0. Потому что a⁰=1.
4. logₐb + logₐc = logₐb×c. К примеру, log₂4 + log₂8 = log₂4×8 = log₂32 = 5.
5. По такой же логике logₐb - logₐc = logₐb÷c.
6. logₐbᶜ=c×logₐb, т.е. мы выносим степень перед log. К примеру, log₂8³=3log₂8=3×3=9.
7. logₐᶜb (т.е. aᶜ)=1/c×logₐb. К примеру, log₅³25=1/3×log₅25=1/3×2=2/3.
8. logₐb=log꜀b/logₐb. К примеру, log₂8 = log₃8/log₃2, потому что log₂8=3 (2³=8). Это свойство применяется редко, но его нужно знать.
Теперь разберемся на конкретных примерах!
. .Так как основания и слева и справа одинаковые, значит х=8.
. . .х-2=11; х=11+2; х=13.
. . 4х=72; х=72÷4=18.
3ᶫᵒᵍ₉⁽⁴ˣ⁺¹⁾=3²; log₉(4x+1)=2. (берем степени отдельно)
9²=4х+1; 81=4х+1; 4х=81-1; 4х=80; х=80÷4; х=20.
Вот такую легкую тему сегодня предоставил вам Тилл! Все не так страшно, как кажется на первый взгляд. Предлагаю вам проверить свои знания тестом в комментариях!
math with @alnstmath ! #a
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Итак, что же такое подобные треугольники?
1. два угла треугольников равны двум таким же углам другого треугольника.
2. две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны.
3. три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.
Если какой-то из пунктов верный, то треугольники подобные. Обозначается ∆ABC ~ ∆A₁B₁C₁
AB/A₁B₁=BC/B₁C₁=AC/A₁C₁=k.
P/P₁=k.
S/S₁=k².
Итогово: подобные треугольники — это две одинаковые фигуры, просто одна из них больше второй в соотношении. (соответственно вторая - меньше)
1. Дано: ∆ABC ~ ∆A₁B₁C₁. Их периметры равны 45 см и 15 см соответственно. Найти коэффициент подобности.
Решение:
P/P₁=k.
k=45/15=3.
2. Дано: ∆ABC ~ ∆A₁B₁C₁. ∠A=45°, ∠B=75°, ∠C=60°.
Найти: ∠A₁, ∠B₁, ∠C₁.
Решение:
Так как треугольники подобные, то углы из одинаковые. Тогда ∠A=∠A₁=45°, ∠B=∠B₁=75°, ∠C=∠C₁=60°.
3. Дано: ∆ABC ~ ∆A₁B₁C₁. AB=15см; BC=12см; AC=6см, k=3. Найти A₁B₁, B₁C₁, A₁C₁.
Решение:
1. AB/A₁B₁=k. 15/A₁B₁=3. Используем пропорцию, тогда
A₁B₁=15/3=5 см.
2. BC/B₁C₁=k. 12/B₁C₁=3. Используем пропорцию, тогда
B₁C₁=12/3=4 см.
3. AC/A₁C₁=k. 6/A₁C₁=3. Используем пропорцию, тогда
A₁C₁=6/3=2 см.
Ответ: 5 см, 4 см, 3 см.
Тема оказалась несложной и вполне себе понятной! Тилл поблагодарил Хёну и предложил вам пройти тест в комментариях!
math with @alnstmath ! #g #p
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
стоит ли нам разбирать егэшные задачи?
Anonymous Poll
88%
да (конкретные интересующие вас номера напишите в комментарии)
12%
нет
Сегодня они рассмотрят сложение вероятности, или же вероятность несовместных событий.
Вероятность несовместных событий это вероятность событий, которые не могут происходить одновременно.
Она находит по вот такой формуле: P(A + B) = P(A) + P(B)
Чаще всего в таких задачах употребляется слово или, указывающее на несовместимость событий.
Найдите вероятность того, что это будет пирожное с карамелью или с шоколадом.
Решение:
1. Для начала найдём общее количество пирожных: 2+3+5=10.
2. А теперь найдём вероятность данного события:
P=2/10+5/10 = 7/10
Ответом будет сумма этих вероятностей: 0,7.
Теперь то Тилл стал больше понимать вероятность! И он сможет решать более сложные задачи. Теперь попробуем применить эти знания на практике с помощью теста.
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
фастиком ответили почему рассветы зимой красные а летом голубые
#int
#int
ᶻ 𐰁 ๋ . Math w. Alien Stage ..
фастиком ответили почему рассветы зимой красные а летом голубые #int
учите физику, друзья!
ᶻ 𐰁 ๋ . Math w. Alien Stage ..
GIF
вот вам смешно а хуеверсам пришлось выучить физику чтобы создать ульту рацио
вывод один: учите физику, друзья
вывод один: учите физику, друзья
ㅤㅤ
давайте сначала проведем простую аналогию, чтобы лучше разобраться в теме!ㅤ
ㅤㅤ
ㅤㅤ
ㅤㅤ
ㅤ
ㅤ
ㅤㅤ
ㅤㅤитого, имеем формулу I = U/R. Отсюда выводятся еще две формулы: R = U/I и U = IR.
ㅤесли переводить на совсем простой язык, закон Ома — закон, который связывает три вещи в электричестве: силу тока, напряжение и сопротивление.
ㅤ
ㅤ
ㅤㅤ
ㅤㅤ
ㅤㅤ
ㅤ
Тилл понял, что закон Ома совсем несложный, если привести простую аналогию! Предлагаю вам проверить себя задачами из комментариев.
math with @alnstmath ! #ph
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Известный математик Пифагор родился на острове Самос в Греции. Во время строительства водопровода у людей не было чистой воды, поэтому им давали пить вино. Но из-за этого люди часто написались и не могли работать! Тогда Пифагор придумал специальную чашу, в которую можно набрать жидкость только до определенной отметки.. . .Люди были хитрые, хотели долить себе еще больше вина. Но как только жидкость превышала ометку, все вино выливалось до дна, и в следующий раз человеку не давали пить.
math with @alnstmath ! #fact
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
из какого вы класса?
Anonymous Poll
2%
меньше 6
7%
6
21%
7
28%
8
31%
9 или 10
5%
11
6%
уже на курсах
ㅤ
ㅤ
ㅤ
ㅤㅤпредставь, что у тебя есть две коробки с шарами. Ты не знаешь, сколько шаров в каждой коробке, но тебе известны две вещи:
ㅤно как узнать, сколько шаров в каждой коробке? Просто подбирать числа? А если коробок три? Вот тут нам и помогают системы!🪐 ) если сложить шары из двух коробок, получится 10;🪐 ) во второй коробке на 2 шара больше, чем в первой
ㅤㅤㅤㅤ
ㅤ
ㅤㅤнаши условия превращаются в уравнения:
🌠 ) х+у=10 (сумма равна 10);🌠 ) у=х+2 (во второй на 2 больше)
ㅤа чтобы подчеркнуть, что эти условия должны выполняться одновременно, их объединяют фигурной скобкой!
ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ{х+y=10
ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ{y=x+2
ㅤㅤрешение системы — это такая пара чисел (x и y), которая подходит и для первого, и для второго уравнения сразу.
ㅤㅤ
ㅤㅤ
ㅤвернемся к нашей задаче про шары:
ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ{х+y=10
ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ{y=x+2
ㅤㅤво втором уравнении нам уже повезло, так как y уже выражен как х+2!
🖤 ) если в другой системе не повезет, нужно будет выражать самому (напрмер, из х+y=10 можно сделать y=10-x)
ㅤдалее подставляем. Раз y=х+2, значит в первое уравнение вместо y мы пишем х+2 и получаем: х+(х+2)=10
ㅤㅤрешаем как обычное уравнение:
ㅤх+х+2=10
ㅤ2х+2=10
ㅤ2х=8
ㅤх=8/2=4
ㅤㅤвот мы и нашли сколько шаров в первой коробке!
ㅤтеперь вспоминаем что у=х+2 и подставляем х=4. Получается, у=4+2=6! Мы решили систему!
ㅤㅤответ записывается так: (4; 6). Сначала х, потом у.
ㅤㅤ
ㅤㅤ
ㅤиногда уравнения можно сложить друг с другом, чтобы сразу что-то сократилось. Посмотрим на систему уравнений:
ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ{2х+у=8
ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ{3х-у=2
ㅤㅤв первом уравнении +у, а во втором -у. Если их сложить, у исчезнет!
ㅤскладываем левые части и первые части отдельно:
ㅤㅤполучаем одно уравнение: 5х=10. Следовательно, х=10/5=2. И далее мы подставляем его в любое уравнение:📡 ) (2х+у)+(3х-у)=2х+у+3х-у=5х📡 ) 8+2=10
ㅤ2×2+у=8
ㅤ4+у=8
ㅤу=8-4=4
ㅤㅤответ: (2; 4)
ㅤ
ㅤㅤ
ㅤесли в задаче одно неизвестное хватит одного уравнения, а если нужно найти 2 числа про которые известно 2 факта нужно составлять систему.
ㅤ
После этого Тилл полюбил уравнения еще больше, все ведь совсем просто! А вам рекомендую проверить себя и решить самостоятельно несколько систем.
math with @alnstmath ! #a
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
💚 ...Что это? Выглядит страшно!
уравнение единичной окружности звучит как x²+y²=1; радиус окружности = 1; центр (0, 0); длина окружности 2π.Итак, как же вызначить синус и косинус на этой окружности?!
Рассмотрите рисунок! Найдите на нем ось y. Это и будет ваш синус. На рисунку числовые значения синуса и сверху и снизу одинаковые, но различает их только наличие минуса.sin0°=0, ведь он попадает в начало координат. Следственно, sin180°=0 также. sin30°=1/2, а sin330°=-1/2. С остальными числовыми значениями также! (значения с пи это те же градусы но уже в радианах, так что мы будем изучать это подробнее чуть позже. .)
Рассмотрите рисунок и найдите на нем ось х. Это и будет ваш косинус. Все то же самое, что из синусом, но уже на оси х!cos0°=1, потому что 0° попадает в единицу. Та же история и с cos180°, но это уже будет -1, т.к. числовые значения у ОХ слева отрицательные!
Со всеми остальными значениями история та же. Потренируйтесь и попробуйте это запомнить!
Что такое четверти разобраться не сложно — я думаю вы это и так знаете!
Для справки: над ОХ находится первая и вторая четверь справа налево. Под ОХ находится третья и четвертая четверть слева направо.
. . . Собственно, cos120° — это 3 четверть — это минус. Sin300° — это 4 четверть — это минус.
Тилл, кажется, что-то да понял. Иван заставил его пройти парочку тестов по теме, поэтому предлагаю и вам тоже пройти их в комментариях! (кстати, на сегодняшнем стриме в 14:30 мы подробно рассмотрим единичную окружность . .)math with @alnstmath ! #g #t
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
3