"А зачем ваша математика, если не к олимпиадам?"

Сегодня разговаривал с новым учеником. Такой вдумчивый, с любопытством смотрит.

И вдруг спрашивает: "А зачем заниматься вашей математикой, если вы всё равно не готовите к олимпиадам?"
Я смотрю на него и начинаю объяснять. "Понимаешь, Вася, есть два вида олимпиад. Одни — простенькие, для галочки. Такие, где грамоту получить легко, но ценности в этом никакой. Ну, повесишь ты её на стену, ну похвастаешься. А дальше? Никакого реального преимущества эти грамоты не дают. А есть другие. Настоящие. Трудные, интересные, такие, что заставляют мозг работать в полную силу иначе.

Вот, например, Олимпиада Эйлера (для 8-классников), заключительный этап Всероссийской олимпиады (для 9-11 классов), Международная математическая олимпиада (для тех, кто успешно выступил на Всероссийской). Это не просто грамоты. Это возможность поступить в топовые школы, институты, причём без ЕГЭ. Эти олимпиады — как ключ к дверям, за которыми открывается нечто большее."
Я вижу, он слушает, наклонив голову. Интересно. Значит, продолжаю.

"И вот тут важно понимать: подготовка к разным олимпиадам — разная. Для первых достаточно просто натренировать алгоритмы. Нужные формулы, схемы — выучил, натренировался решать задачки определённых типов, получил диплом. Всё просто. А вот чтобы справиться с настоящими, сложными задачами, одного алгоритма мало. Там надо уметь думать. Решать задачи, которых ты раньше не видел. Искать пути, которых никто тебе не показывал. И вот именно для этого мы занимаемся нашей математикой. Не для того, чтобы натаскать тебя на очередную бумажку, а чтобы ты мог решать такие задачи, которые сделают тебя по-настоящему сильным. Чтобы ты учился думать."

Он улыбается. Кажется, понял.

А мне остаётся добавить: дело вообще-то даже не в олимпиадах как таковых. Олимпиады, конечно, развивают ум и сообразительность, открывают какие-то новые грани у пройденного в школе материала и позволяют немного «заглянуть за ширму», приоткрывают спрятанные за школьной формулировкой более глубокие, обобщающие понятия. Главным же образом, они мотивируют на занятия математикой.
Но в то же время олимпиадный мир относится к математике примерно так же, как решение шахматных задач и этюдов к игре в шахматы.
Это не одно и то же, хотя и связанные вещи.
Придя на олимпиаду, школьник знает заранее, что а) задача имеет решение (и автор его знает), б) у него имеются все неоюходимые инструменты для её решения, ибо задача решается применением знаний и умений, не выходящих за пределы школьной программы (пусть и углублённой) и
в) решение должно быть не слишком длинное, многоходовое, оно должно быть доступно для старшеклассника для решения и записи в течение 3-4 часов. Не так обстоит дело в самой математике, как науке…

Не все школьники это понимают. Но те, кто начинают разбираться, видят, что настоящая математика — это не про грамоты.
Это про возможность видеть мир иначе. И, знаете, для таких вопросов, как у Васи, я всегда найду время. Потому что за этим вопросом всегда прячется что-то большее: желание разобраться, понять, сделать свой выбор. И для меня это самое ценное.

Друзья! Яков Иосифович Абрамсон открывает две группы занятий математикой:
Первая группа: 10-12 лет занятия три раза в неделю по полтора часа ( два урока онлайн, один урок очно )
Вторая группа: 12-14 лет занятия онлайн один раз в неделю.

Уважаемые родители, добрый день!
В пятницу ( 17.01) начинаем занятия математикой, дети 10-12 лет, ведет уроки Яков Иосифович Абрамсон.

Наше расписание:
Воскресенье очно 16:00
Вторник онлайн 19:00
Пятница онлайн 19:30
( продолжительность каждого урока полтора часа с переменой 5 минут)

Уважаемые родители, добрый день!
Маленький фрагмент урока в нашей группе с Яковом Абрамсоном😊

Уважаемые родители, добрый день!

В среду (26.02) начинаем занятия математикой, дети 12-14 лет, ведет уроки Яков Иосифович Абрамсон.

Наше расписание:

Среда онлайн 19:00

(продолжительность каждого урока полтора часа с переменой 5 минут)

Уважаемые родители, добрый день!

В воскресенье (22.06) начали занятия математикой, дети 9-11 лет, ведет уроки Яков Иосифович Абрамсон. Прошел только 1 урок. Можно ещё присоединиться.

Наше расписание:

Воскресенье онлайн 12:45

(продолжительность каждого урока полтора часа с переменой 5-7 минут)

ЧИСЛО И ЗАПИСЬ

У нас есть 11 кактусов, как мы можем это записать?

Дети придумывают разные варианты...

Выясняется, что записать число 11 можно разными способами, например:

I I I I I I I I I I I ( палочками),

✔️ ✔️ ✔️ ✔️ ✔️ ✔️ ✔️ ✔️ ✔️ ✔️ ✔️
(галочками),

🌵🌵🌵🌵🌵🌵🌵🌵🌵🌵🌵(рисунком)

А что делать, если число огромное, не 11, а например 179?
Неудобно пользоваться рисунком или палочками...

Ребята вспоминают разные ЦИФРЫ с которыми они уже встречались, в том числе и римские, постепенно приходит понимание, что людям пришлось придумать договоренность или систему счисления с помощью которой они смогут записывать числа и понимать, что они означают, и что эти системы бывают разными.

XI (римскими значками),

11 (привычным нам арабскими цифрами).

Или какими-то другими кодами, которые кстати существуют. А ещё можно договориться всем классом и придумать свое обозначение и им пользоваться внутри класса и это будет наша собственная система счисления.

Также а этом этапе выясняется, что СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ могут быть НЕПОЗИЦИОННЫЕ  (когда значение цифры не зависит от её положения в числе) и ПОЗИЦИОННЫЕ (все цифры числа должны быть в строгом порядке-позиции справа налево увеличиваясь по разрядам).

Дети узнают, что ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ много (двоичная, троичная, шестнадцатеричная и др.), а распространенная десятичная лишь одна из них. И возникает справедливый вопрос, а как нам записывать то ЧИСЛО, которое нам нужно?

Выясняется, что ЧИСЛО, и ЗАПИСЬ ЧИСЛА, это две разные вещи, независимые. Оказывается, одно и тоже число можно записывать по разному, в зависимости от того, в какой позиционной системе счисления вы находитесь. Одна и та же привычная нам 10, в двоичной системе будет означать 2, в четверичной 4, а в восьмеричной, уже 8.

Получается что ЗАПИСЬ ЧИСЛА это своего рода - КОД, условная договорённость принятая людьми. Так дети начинают понимать, что запись одного и того же числа это условность, которую люди договорились обозначать символами – ЦИФРАМИ.

Очень быстро ребята научаются сами записывать и переводить любые числа в любую систему счисления.

P.S. Как вы думаете, почему мы не складываем с помощью РИМСКИХ ЦИФР?

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

С первых уроков, дети узнают, что
позиционных систем счисления много (двоичная, троичная, шестнадцатеричная и др.), а распространенная десятичная всего лишь одна из них.

Зачем?

Исчезает стереотип, что после 7 всегда будет 8 и не надо думать.... , а всякое новое действие развивает мышление.

Ребенок сразу узнает и СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ, и наблюдает сразу несколько связанных понятий:

Когда мы начинаем СКЛАДЫВАТЬ и ВЫЧИТАТЬ, выясняется, что ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ очень удобны для передвижение разрядов. В РИМСКОЙ системе счисления неудобно складывать, не смотря на то что там есть своя номерация, потому что непонятно какое число к какому складывать, из-за того, что система счисления НЕПОЗИЦИОННАЯ.

И тут же, где идут СЛОЖЕНИЕ и  появляется обратная операция, ВЫЧИТАНИЕ, которая подаётся, как УРАВНЕНИЕ, соответственно, появляется введение в понятие уравнение.
Само понятие уравнения тоже появляется в связи с введением понятия ВЫЧИТАНИЯ.

А потом, когда появляется операция УМНОЖЕНИЕ, тут же появляется ее связь с ГЕОМЕТРИЕЙ, что умножение связано с площадью прямоугольника всегда. И выясняются 3 основных свойства умножения, на которых основано и ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ, которое тоже является обратной операцией и тоже определяется как решение УРАВНЕНИЯ, в котором уже два неизвестных. Одно неизвестное - это частное, а второе неизвестное, это частное (иногда полное, а иногда, не полное) - остаток. Полное оно когда остаток равен нулю.

23 : 5, получаем неполное частное 4 и остаток 3. Вот мы и находим два неизвестных 3 и 4. А у нас было два известных 23 и

5
Когда мы переходим к СТЕПЕНям, у нас появляются опять две обратные операции. Нахождение КОРНЯ и взятие ЛОГАРИФМА. Тут тоже нам два числа заданы, а третье мы находим.

И третье, это может быть либо КОРЕНЬ, либо ЛОГАРИФМ, когда нам известна степень и одно из чисел, либо известен показатель степени, либо нам известно основание степени, и мы находим либо одно, либо другое. Сразу в этом контексте мы получаем представление и об определении ПРЯМОЙ и ОБРАТНОЙ ОПЕРАЦИИ, и об УРАВНЕНИЯХ. Когда у нас появляется неизвестное, и его надо найти. Мы находим неизвестное, тем самым определяется и операция, и понятие уравнения, в котором есть неизвестное и надо его найти.

Благодаря изучению разных СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ в начале знакомства с математикой происходит экономия времени ребенка и одновременно ускорение его обучения во многих математических областях, которые связаны между собой, а значит они будут осваиваться легче и быстрее и останется больше времени на остальные разделы математики.

КАКИМИ СРЕДСТВАМИ ЭТО ДОСТИГАЕТСЯ?

С самых первых уроков дети пользуются КУБИКАМИ, с помощью которых они руками выкладывают небольшие числа в разных системах счисления, привыкая к тому, как выглядят разные разряды в разных системах счисления.
Они видят, что СОБАКА (в игровой форме поданы разряды, чтобы легче усваивался материал) - третий разряд в любой системе счисления всегда выглядит, как квадрат. А ЛИСА (четвертый разряд любой системы счисления) всегда куб. В последствии ребятам будет понятно, почему вторая степень числа всегда называется квадратом числа, а третья степень - всегда куб.

Также ребята будут выкладывать простые примеры с умножением, благодаря челу увидят связь геометрии с умножением и площадями.

Для лучшего понимания, мы все пропускаем, через зрение и руки.

И второе, что мы используем ПЛАСТИКОВЫЕ ДОСКИ, которые позволяют быстро получать результаты и показывать учителю, позволяют стирать ошибки не оставляя никаких следов от ошибок, то есть позитивная сторона. На них легче писать тем, кто еще не очень хорошо пишет и у кого рука ещё не разработана. Потому что в тетради мелкая моторика нужна когда  пишешь, а тут крупная моторика, которой проще писать в маленьком возрасте.

УЧЕНИКИ УЧАТСЯ ДРУГ У ДРУГА

и это не менее важно, чем обучение от учителя

Когда мы думаем о процессе обучения, нам сразу представляется учитель, который передаёт знания ученикам. Но на самом деле, особенно в хорошей учебной группе, происходит ещё один важнейший процесс: ученики учат друг друга.

В группе каждый ребёнок — не просто пассивный получатель знаний, а активный участник общего образовательного процесса . Ученики делятся мыслями, решениями, ошибками и озарениями. Один ученик формулирует гипотезу — остальные слушают, анализируют, сравнивают со своими мыслями. Кто-то задаёт уточняющий вопрос, кто-то объясняет, почему считает решение неверным. Возникает обмен, взаимодействие, реальное «сваривание» смысла.

Что особенно важно: ученик слышит не только правильные решения, но и ошибки — и это драгоценно. Потому что замечая чужие ошибки, он начинает распознавать и свои собственные. Ведь гораздо проще сначала научиться видеть ошибку «снаружи», чем внутри себя. Такой опыт — начало настоящей рефлексии: когда ребёнок уже не просто говорит, а понимает, что каждое слово имеет значение и задумывается, насколько точно он формулирует, насколько его рассуждения обоснованы.

Кроме того, когда ученик объясняет что-то другому, он сам начинает понимать это лучше. Чтобы объяснить, надо упорядочить свою мысль, выразить её понятно, привести пример. Это требует более глубокого осмысления материала, чем повторение за учителем.

Таким образом, в группе рождаются не только знания, но и развитие речи, критического мышления, уверенности в себе. Дети учатся не бояться высказываться, принимать обратную связь, спорить по делу, аргументировать, соглашаться или не соглашаться. И всё это происходит "на равных", в живом общении, которое не заменит ни один учебник, ни одни индивидуальные занятия с учителем.

Да, учитель по-прежнему играет важнейшую роль: он организует процесс, задаёт направление, ритм, наводящие вопросы, помогает не менее заблудиться в сложной задаче. Но именно группа — это пространство, где знание оживает, проверяется, обтачивается. Где происходит настоящее обучение.

И в этом смысле справедливо сказать: ученики учат друг друга не меньше, чем учитель учит их.

УСТНАЯ РЕЧЬ И КРИТИЧЕСКОЕ
МЫШЛЕНИЕ — побочные эффекты хорошего образования.

Когда мы говорим о математике в начальной школе, то редко вспоминаем о таких вещах, как грамотная устная речь и развитие критического мышления. Но на самом деле именно они становятся побочными, но жизненно важными результатами качественного обучения, особенно в группе.

ГРАМОТНАЯ УСТНАЯ РЕЧЬ

В учебной группе дети постоянно говорят. Они не просто отвечают «по очереди» — они объясняют, формулируют, задают вопросы, спорят, делают замечания. Вначале они пытаются рассказать так, чтобы понял учитель не ориентируясь на своих одногруппников. А педагог должен перенаправить их внимание на то, чтобы их решение было понятно их друзьям и они пытались выразить свою мысль так, чтобы другие ребята поняли. Это коммуникативное действие: донести суть, услышать обратную связь, поправить себя, переформулировать.
Именно в такой практике рождается грамотная устная речь. Постепенно она становится гибкой, осмысленной, точной. Ребёнок учится управлять словами, строить аргументы, выстраивать речь логически. А это — навык, который работает не только в математике, но в любом разговоре, в любой профессии, в любой области взрослой жизни.

РАЗВИТИЕ КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ: умение видеть, что не так

В группе ребёнок не только говорит — он слушает других. И в этом — второй ключевой процесс: обнаружение ошибок. Кто-то неправильно рассудил, недосказал, запутался, а кто-то другой это заметил. В этот момент начинает работать мышление совсем другого уровня: оценочное, критическое.
Чтобы заметить ошибку, нужно сначала услышать, понять, а потом ещё и соотнести со своими мыслями сказаное, обдумать и проверить. Это требует концентрации, логики, самостоятельного анализа. А главное — смелости: ведь ты высказываешь сомнение в словах другого человека, твоего товарища. Это формирует не только интеллект, но и культуру диалога.
Постепенно ребёнок начинает замечать, что те ошибки, которые он видит у других, бывают и у него самого. Умение критиковать перерастает в умение рефлексировать. И это настоящий скачок в развитии мышления: человек уже не ждёт, пока учитель скажет, правильно или нет — он сам начинает думать, обоснованно ли я это сказал? Всё ли здесь сходится?

Это и есть взросление
Критическое мышление — не про «критиканство». Это про способность не верить вслепую, а перепроверять. Про способность спорить по делу. Про внутреннюю независимость: ребёнок больше не ищет внешней оценки, он учится сам её давать — себе и другим. Это — путь к взрослению, к способности принимать решения и нести за них ответственность.
И всё это рождается в процессе совместной работы, где слово становится инструментом мысли, а мысль — предметом обсуждения.

«ЗНАЧИМОСТЬ ГРУППЫ И ЕЕ ЧИСЛЕННОГО СОСТАВА»

КАЧЕСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ часто ассоциируется с индивидуальной работой: один ученик, один учитель, тетрадь, задание. Но в действительности, особенно когда речь идёт о развитии мышления, логики, умения решать сложные задачи — группа становится важнейшим инструментом обучения. Причём от состава и размера группы зависит очень многое.

Когда в группе несколько человек — возникает коллективное поле. Дети слышат друг друга, сравнивают свои мысли, обсуждают, кто как дошёл до ответа. Один сформулировал мысль — другой уточнил, третий увидел ошибку, четвёртый предложил альтернативный подход. Такое взаимодействие невозможно в одиночку.
Но что особенно интересно: скорость движения всей группы определяется тем учеником, который в данный момент быстрее всех решает конкретную задачу. Именно его решение вытаскивает группу на следующий уровень. Это не значит, что группа движется со скоростью самого сильного ученика вообще — нет. Иногда «лидер» спотыкается, и неожиданно задачу решает тот, кто до этого молчал. И это создаёт удивительную динамику:

группа движется рывками — от одного озарения к другому, и каждый может стать «локомотивом» в нужный момент.

При этом численность группы тоже имеет значение. Например, в группе из 12 человек вероятность, что кто-то найдёт верный ход, примерно вдвое выше, чем в группе из 4 человек. Почему не втрое, несмотря на трёхкратное увеличение участников?

Потому что вклад участников распределяется неравномерно. Один может тянуть на себе половину задач, другие подключаются эпизодически. Но даже слабые ученики, наблюдая за сильными, начинают расти, учатся формулировке, логике, уверенности, тренируют свои вербальные, аналитические и мыслительные способности. Благодаря тому, что им не легко, их мыслительные процессы активизируются и впоследствии будут работать на них.

Есть ещё важный момент: в группе обязательно появляются «лидеры» — те, кто регулярно тянет вверх. Именно они задают тон: показывают уровень возможного, норму размышления, точность речи. Остальные начинают к ним подтягиваться — иногда незаметно для самих себя.
Таким образом, группа — это не просто сумма учеников. Это живая система, в которой каждый влияет на остальных. И чем богаче состав, чем разнообразнее возможности детей , тем быстрее и глубже идёт обучение. Даже если эффективность не растёт линейно, она всё равно растёт — особенно при правильно организованной работе и здоровой атмосфере.

Хорошо собранная группа — это как двигатель: если всё сбалансировано, она тянет сильнее, чем любая индивидуальная программа.