⚡️ Найпростіші ірраціональні нерівності

Ірраціональні нерівності часто здаються заплутаними через корені та велику кількість обмежень. Насправді, якщо чітко розуміти тип нерівності й уважно працювати з ОДЗ, більшість таких задач розв’язуються стандартними прийомами. Розглянемо найпростіші й найтиповіші види.

1️⃣ Нерівності виду ⁿ√𝑓(𝑥) V 𝑎, де 𝑎 — довільне число, 𝑛 — непарне натуральне (𝑛 > 1), 𝑓(𝑥) — многочлен.

✈️ Основна ідея: для кореня непарного степеня знак нерівності зберігається, тому можна піднести обидві частини нерівності до степеня 𝑛.

✈️ Приклад: ³√(𝑥 − 4) ⩽ 2 ⇔ 𝑥 − 4 ⩽ 2³ ⇔ 𝑥 ⩽ 12

✈️ ОДЗ тут не обмежує розв’язки, адже корінь непарного степеня існує для всіх дійсних чисел.

2️⃣ Нерівності виду √𝑓(𝑥) > 𝑎. У цьому типі нерівностей вирішальне значення має знак числа 𝑎.

✈️ Випадки розв’язування:

1️⃣ Якщо 𝑎 ⩾ 0, то:
🔍 підносимо обидві частини до квадрата;
🔍 враховувати ОДЗ кореня не є обов'язковим, оскільки ОДЗ 𝑓(𝑥) ⩾ 0 є менш «сильним», ніж 𝑓(𝑥) > 𝑎² при 𝑎 ⩾ 0.
✈️ Приклад: √(2𝑥 + 1) > 3 ⇔ (√(2𝑥 + 1))² > 3² ⇔ 2𝑥 + 1 > 9 ⇔ 2𝑥 > 8 ⇔ 𝑥 > 4

2️⃣ Якщо 𝑎 < 0, то достатньо розв’язати лише ОДЗ:

𝑓(𝑥) ⩾ 0,

оскільки квадратний корінь завжди невід’ємний і автоматично більший за від’ємне число.
✈️ Приклад: √(𝑥² − 9) > −1 ⇔ 𝑥² − 9 ⩾ 0

3️⃣ Нерівності виду √𝑓(𝑥) < 𝑎. Тут також усе залежить від значення 𝑎.

✈️ Випадки розв’язування:

1️⃣ Якщо 𝑎 > 0, то маємо подвійну умову:

0 ⩽ 𝑓(𝑥) < 𝑎²

✈️ Приклад: √(𝑥 + 2) < 4 ⇔ 0 ⩽ 𝑥 + 2 < 16 ⇔ −2 ⩽ 𝑥 < 14

2️⃣ Якщо 𝑎 ⩽ 0, то

𝑥 ∈ Ø,

оскільки квадратний корінь не може бути меншим за 0.
✈️ Приклад: √(3 − 𝑥) < 0 — розв’язків немає.

4️⃣ Нерівність із добутку, що містить квадратний корінь. У задачах, де квадратний корінь входить у множення, можливі два підходи:

1️⃣ Метод інтервалів
🔍 працюємо лише на ОДЗ;
🔍 корінь розглядаємо як вираз, що не змінює знак.

2️⃣ Ділення на корінь
🔍 ділимо обидві частини нерівності на √𝑓(𝑥);
🔍 обов’язково окремо перевіряємо значення 𝑥, при якому корінь дорівнює 0;
🔍 усі результати записуємо з урахуванням ОДЗ.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog