⚡️ Найпростіші нерівності з модулем

Нерівності з модулем часто лякають на перший погляд, але насправді більшість із них зводяться до чітких і логічних правил. У цьому дописі розберемо найпростіші типи нерівностей з модулем.

1️⃣ Нерівності виду |𝑓(𝑥)| > 𝑎. Тут основну роль відіграє значення числа 𝑎.

✈️ Випадки розв’язування:

🔍 Якщо 𝑎 ⩾ 0, то нерівність рівносильна об’єднанню двох нерівностей:

🔍 𝑓(𝑥) > 𝑎,
🔍 𝑓(𝑥) < –𝑎.

Отримані проміжки об’єднуємо символом ∪.
🔍 Якщо 𝑎 < 0, то

𝑥 ∈ (−∞; +∞),

оскільки модуль завжди не менший за 0 і завжди більший за будь-яке від’ємне число.

2️⃣ Нерівності виду |𝑓(𝑥)| < 𝑎. Цей тип нерівностей зазвичай розв’язується через подвійну нерівність.

✈️ Випадки розв’язування:

🔍 Якщо 𝑎 > 0, то:

−𝑎 < 𝑓(𝑥) < 𝑎

Або, за бажанням, можна записати як систему:

{ 𝑓(𝑥) < 𝑎,
{ 𝑓(𝑥) > −𝑎.

🔍 Якщо 𝑎 ⩽ 0, то

𝑥 ∈ Ø,

адже модуль не може бути меншим за 0 або від’ємне число.

🔍 Якщо модуль входить у добуток. Коли нерівність містить множення виразів, серед яких є модуль, можливі два підходи:

1️⃣ Метод інтервалів
🔍 знаходимо нулі всіх множників і самого модуля;
🔍 модуль поводиться як дужка парного степеня (знак не змінюється).

2️⃣ Ділення на модуль
🔍 можна поділити обидві частини нерівності на |𝑓(𝑥)|;
🔍 обов’язково окремо перевіряємо значення 𝑥, при яких модуль дорівнює 0.

🤫 Корисний прийом: піднесення до квадрата. Для нерівностей виду |𝑓(𝑥)| > 𝑎 або |𝑓(𝑥)| < 𝑎 при 𝑎 > 0 можна прибрати модуль, піднісши обидві частини до квадрата:
🔍 якщо |𝑓(𝑥)| > 𝑎, то 𝑓²(𝑥) > 𝑎²;
🔍 якщо |𝑓(𝑥)| < 𝑎, то 𝑓²(𝑥) < 𝑎².

📌 Цей спосіб особливо зручний, коли 𝑓(𝑥) — лінійний або квадратний вираз.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog