⚡️ Метод інтервалів

Коли нерівності стають складнішими за лінійні або квадратні, простих «формул» уже недостатньо. Саме тут на допомогу приходить метод інтервалів — логічний, наочний і дуже ефективний спосіб розв’язування багатьох алгебраїчних нерівностей.

🔍 Метод інтервалів застосовують до нерівностей виду

𝑓(𝑥) V 0,

де V ∈ {>, <, ⩾, ⩽}, і ґрунтується він на такому факті:

✈️ неперервна функція на проміжку може змінювати знак лише в тих точках, де вона дорівнює нулю або не визначена.

✈️ Алгоритм розв’язування методом інтервалів
1️⃣ Запишіть нерівність у вигляді 𝑓(𝑥) V 0.
2️⃣ Знайдіть область визначення функції 𝑦 = 𝑓(𝑥).
3️⃣ Розв’яжіть рівняння 𝑓(𝑥) = 0 і знайдіть усі його корені.
4️⃣ Розбийте область визначення на інтервали, використовуючи:
🔍 знайдені корені;
🔍 точки, де функція не має змісту.
5️⃣ Визначте знак функції на кожному інтервалі, підставляючи пробну точку з цього проміжку.
6️⃣ Оберіть потрібні інтервали залежно від знака нерівності:
🔍 для > або ⩾ — інтервали зі знаком «+»;
🔍 для < або ⩽ — інтервали зі знаком «–».
7️⃣ Запишіть відповідь, поєднуючи проміжки через символ ∪, якщо їх кілька.

📌 Коли метод інтервалів особливо корисний
🔍 дробово-раціональні нерівності;
🔍 нерівності з добутком кількох множників;
🔍 вирази з парними та непарними степенями;
🔍 складніші нерівності, ніж стандартні квадратні.

✈️ Як швидко визначати знаки на інтервалах

✈️ Якщо 𝑓(𝑥) розкладена лише на лінійні множники виду (𝑥 − 𝑎), то у крайньому правому інтервалі знак завжди «+».

✈️ Якщо множник має вигляд (𝑥 − 𝑎)ⁿ, де 𝑛 — непарне число, то при переході через точку 𝑥 = 𝑎 знак змінюється.

✈️ Якщо множник має вигляд (𝑥 − 𝑎)ⁿ, де 𝑛 — парне число, то при переході через точку 𝑥 = 𝑎 знак не змінюється, а «повторюється».

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog