📉 Лінійна функція, її графік та властивості

Переходимо до розгляду базових алгебраїчних функцій, з якими ви найчастіше стикаєтесь у задачах НМТ. Саме з них починається аналіз графіків, рівнянь і нерівностей. Першою такою функцією є лінійна функція — проста за виглядом, але надзвичайно важлива за застосуванням.

🔍 Лінійна функція — це функція виду

𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏,

де 𝑘 і 𝑏 — деякі дійсні числа.

✈️ Графік лінійної функції — пряма лінія. Для її побудови достатньо знайти координати будь-яких двох точок, що задовольняють формулу, і з’єднати їх на координатній площині.

✈️ Коефіцієнт 𝑘 визначає характер монотонності функції:
🔍 якщо 𝑘 > 0 — функція зростає;
🔍 якщо 𝑘 < 0 — функція спадає.

✈️ Коефіцієнт 𝑏 задає точку перетину графіка з віссю 𝑂𝑦: при 𝑥 = 0 маємо 𝑦 = 𝑏, тобто точку (0; 𝑏).

✈️ Область визначення:

𝐷(𝑦) = (–∞; +∞).

✈️ Множина значень:

𝐸(𝑦) = (–∞; +∞).

✈️ У загальному випадку лінійна функція:
🔍 не є ні парною, ні непарною;
🔍 не є періодичною.

✈️ Приклад: 𝑦 = –3𝑥 + 2 — спадна лінійна функція, що перетинає вісь 𝑂𝑦 у точці (0; 2).

🔍 Пряма пропорційність — це окремий випадок лінійної функції, коли 𝑏 = 0. Формула має вигляд:

𝑦 = 𝑘𝑥.

✈️ Графік — пряма, що обов’язково проходить через початок координат (0; 0).
✈️ Якщо 𝑘 > 0 — функція зростає, якщо 𝑘 < 0 — спадає.
✈️ 𝐷(𝑦) = (–∞; +∞).
✈️ 𝐸(𝑦) = (–∞; +∞).
✈️ Функція є непарною.
✈️ Функція не є періодичною.

✈️ Приклад: 𝑦 = 2𝑥 — зростаюча пряма пропорційність.

🔍 Стала функція — ще один окремий випадок лінійної функції, коли 𝑘 = 0. Має вигляд:

𝑦 = 𝑏.

✈️ Графік — горизонтальна пряма, паралельна осі 𝑂𝑥.
✈️ Проходить через точку (0; 𝑏).
✈️ 𝐷(𝑦) = (–∞; +∞).
✈️ 𝐸(𝑦) = {𝑏}.
✈️ Функція є парною.
✈️ Функція є періодичною з будь-яким періодом 𝑇 ≠ 0.

✈️ Приклад: 𝑦 = –4 — стала функція, графік якої лежить нижче осі 𝑂𝑥.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog