📈 Парні і непарні функції. Зростаючі і спадні функції. Періодичні функції

На цьому етапі ми вже вміємо читати формули та графіки функцій. Тепер саме час систематизувати основні властивості, які дуже часто перевіряють у тестах: парність і непарність, зростання і спадання, а також періодичність. Ці поняття допомагають швидко аналізувати функції без громіздких обчислень.

🔍 Парна функція — функція 𝑦 = 𝑓(𝑥), у якої для всіх 𝑥 із області визначення виконується умова:

𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥).

✈️ Приклад. Розглянемо функцію 𝑓(𝑥) = 𝑥⁴ + |𝑥| − 3.
Маємо: 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)⁴ + |−𝑥| − 3 = 𝑥⁴ + |𝑥| − 3 = 𝑓(𝑥), отже, функція є парною.
✈️ Геометрична ознака: графік парної функції симетричний відносно осі 𝑦.

🔍 Непарна функція — функція 𝑦 = 𝑓(𝑥), у якої для всіх 𝑥 з області визначення виконується рівність:

𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥).

✈️ Приклад. Розглянемо функцію 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 2/𝑥.
Тоді: 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)³ + 2/(−𝑥) = −𝑥³ − 2/𝑥 = −(𝑥³ + 2/𝑥) = −𝑓(𝑥), отже, функція є непарною.
✈️ Геометрична ознака: графік непарної функції симетричний відносно початку координат 𝑂(0; 0).

🔍 Зростаюча функція — функція 𝑦 = 𝑓(𝑥), у якої для будь-яких 𝑥₁ і 𝑥₂ з області визначення, де 𝑥₂ > 𝑥₁, виконується нерівність:

𝑓(𝑥₂) > 𝑓(𝑥₁).

✈️ Приклад. Розглянемо функцію 𝑦 = 5𝑥 − 1. Тут 𝐷(𝑦) = (–∞; +∞). Візьмемо 𝑥₁ = 1, 𝑥₂ = 4. Тоді 𝑦₁ = 4, 𝑦₂ = 19 → при 𝑥₂ > 𝑥₁ маємо 𝑦₂ > 𝑦₁. Отже, функція зростає на всій області визначення.

🔍 Спадна функція — функція 𝑦 = 𝑓(𝑥), у якої для будь-яких 𝑥₁ і 𝑥₂ з області визначення, де 𝑥₂ > 𝑥₁, виконується нерівність:

𝑓(𝑥₂) < 𝑓(𝑥₁).

✈️ Приклад. Розглянемо функцію 𝑦 = −3𝑥 + 7. Тут 𝐷(𝑦) = (–∞; +∞). Візьмемо 𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 2. Тоді 𝑦₁ = 7, 𝑦₂ = 1 → при збільшенні 𝑥 значення 𝑦 зменшується. Отже, функція є спадною.

🔍 Періодична функція — функція 𝑦 = 𝑓(𝑥), для якої існує число 𝑇 ≠ 0 таке, що для всіх 𝑥 з області визначення:

𝑓(𝑥 − 𝑇) = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑇).

✈️ Число 𝑇 називають періодом функції, якщо воно є найменшим додатним числом із цією властивістю.
✈️ Приклад. Нехай на проміжку [0; 2) задано функцію 𝑦 = 𝑥, і вона періодично продовжена з періодом 𝑇 = 2. Тоді кожен фрагмент графіка довжини 2 на осі 𝑂𝑥 повторюється без змін.

✈️ Корисне зауваження. Функція 𝑦 = 0 має особливі властивості: вона одночасно є парною, непарною та періодичною (її період не є однозначно визначеним).

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog