🔥 Функції, задані формулою

Продовжуємо тему «Функції». Якщо раніше ми аналізували властивості за готовим графіком, то тепер навчимося робити це за формулою. Саме такий формат викликає труднощі у здобувачів через часте нерозуміння, що взагалі треба робити з формулою.

🔍 Функція — це залежність змінної 𝑦 від змінної 𝑥, за якої кожному значенню 𝑥 відповідає одне значення 𝑦.
🔍 𝑥 — незалежна змінна (аргумент),
🔍 𝑦 — залежна змінна (функція).

✈️ Приклади:
🔍 𝑦 = 3𝑥 + 1, 𝑦 = 𝑥² – 4𝑥, 𝑦 = √(𝑥 – 2) — функції;
🔍 𝑥 + 2𝑦 = 5, 𝑦² + 𝑥 = 1, √𝑥 + √𝑦 = 4 — рівняння.

✈️ Основні характеристики функції за формулою. Розглянемо їх на прикладі функції 𝑦 = 𝑥² – 6𝑥 + 5.

1️⃣ Перетин із віссю 𝑦 — це точка, у якій 𝑥 = 0.
✈️ Приклад: для функції 𝑦 = 𝑥² – 6𝑥 + 5 маємо 𝑦 = 0² – 6⋅0 + 5 = 5
🔍 точка (0; 5).

2️⃣ Перетин із віссю 𝑥 — це точки, у яких 𝑦 = 0.
✈️ Приклад: для функції 𝑦 = 𝑥² – 6𝑥 + 5 маємо:
0 = 𝑥² – 6𝑥 + 5
𝑥² – 6𝑥 + 5 = 0
𝑥 = 1 або 𝑥 = 5
🔍 точки (1; 0) і (5; 0).

3️⃣ Нулі функції — це всі значення аргументу, за яких 𝑦 = 0.
✈️ Приклад: для функції 𝑦 = 𝑥² – 6𝑥 + 5 маємо:
🔍 нулі: 𝑥 = 1 і 𝑥 = 5.

4️⃣ Область визначення функції — це всі значення 𝑥, для яких функція (формула) має зміст.
✈️ Приклад. Для 𝑦 = 𝑥² – 6𝑥 + 5 обмежень немає, тому:
🔍 𝐷(𝑦) = (–∞; +∞).

5️⃣ Множина значень функції — це всі значення, які приймає функція 𝑦.
✈️ Приклад. Функцію 𝑦 = 𝑥² – 6𝑥 + 5 перепишемо у зручному вигляді:
𝑦 = (𝑥² – 6𝑥 + 9) – 9 + 5 = (𝑥 – 3)² – 4. Оскільки (𝑥 – 3)² ⩾ 0, то (𝑥 – 3)² – 4 ⩾ –4, тобто 𝑦 ⩾ –4.
🔍 𝐸(𝑦) = [–4; +∞).

🔍 Область визначення: основні випадки

1️⃣ Многочлени. Функції виду

𝑦 = 𝑎ₙ𝑥ⁿ + … + 𝑎₁𝑥 + 𝑎₀

не мають обмежень.

✈️ Приклад. Для функції 𝑦 = 2𝑥³ – 𝑥 + 7 маємо 𝐷(𝑦) = (–∞; +∞).

2️⃣ Дробово раціональні функції. Знаменник таких функцій не може дорівнювати нулю.
✈️ Приклад. Для функції 𝑦 = (𝑥 – 4)/(𝑥 + 1) маємо:
𝐷(𝑦): 𝑥 + 1 ≠ 0 → 𝑥 ≠ –1
🔍 𝐷(𝑦) = (–∞; –1) ∪ (–1; +∞).

3️⃣ Функції з коренем парного степеня. Підкореневий вираз таких функцій має бути невід’ємним.
✈️ Приклад. Для функції 𝑦 = √(2𝑥 + 6) маємо:
𝐷(𝑦): 2𝑥 + 6 ⩾ 0 → 𝑥 ⩾ –3
🔍 𝐷(𝑦) = [–3; +∞).

🔍 Шматково-задана функція — функція, яка описується різними формулами на різних проміжках аргументу.
✈️ Загальний вигляд:

𝑓(𝑥) = {
𝑓₁(𝑥), якщо 𝑥 ∈ 𝐼₁,
𝑓₂(𝑥), якщо 𝑥 ∈ 𝐼₂,
...
𝑓ₙ(𝑥), якщо 𝑥 ∈ 𝐼ₙ. }

де:
🔍 𝑓(𝑥) — позначення функції.
🔍 𝑓₁(𝑥), 𝑓₂(𝑥), ..., 𝑓ₙ(𝑥) — формули, що визначають функцію на різних інтервалах.
🔍 𝐼₁, 𝐼₂, ..., 𝐼ₙ — інтервали, на яких діють відповідні формули. Важливо, щоб ці інтервали не перекривалися (крім можливо точок з'єднання) і в сукупності покривали всю область визначення функції.

✈️ Приклад. Розглянемо функцію
𝑓(𝑥) = {
–𝑥, якщо 𝑥 < –1,
2, якщо –1 ⩽ 𝑥 ⩽ 1,
𝑥², якщо 𝑥 > 1. }
Ця функція визначена трьома різними формулами на трьох різних інтервалах:
🔍 при 𝑥 < –1 маємо 𝑓(𝑥) = –𝑥;
🔍 на відрізку [–1; 1] маємо 𝑓(𝑥) = 2;
🔍 при 𝑥 > 1 маємо 𝑓(𝑥) = 𝑥².

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog