📈 Функції та їх графіки

Тема «Функції» — одна з основних у шкільному курсі математики та надзвичайно важлива для НМТ. Саме тут перевіряється вміння аналізувати графіки, знаходити властивості залежностей і робити правильні висновки без складних обчислень. Почнімо з базових понять і навчимося «читати» графік функції.

🔍 Функція — залежність змінної 𝑦 від змінної 𝑥, за якої кожному значенню 𝑥 відповідає єдине значення 𝑦.

✈️ Змінну 𝑥 називають аргументом або незалежною змінною,
а змінну 𝑦 — значенням функції або залежною змінною.

✈️ Аналіз властивостей функції за графіком. Розглянемо довільний графік функції (див. скриншот) і визначимо його основні характеристики.

1️⃣ Область визначення функції — це всі значення аргументу 𝑥, для яких існує значення функції.
✈️ Приклад: 𝐷(𝑦) = [𝑥₁; 𝑥₇].

2️⃣ Множина значень функції — це всі значення, яких набуває змінна 𝑦.
✈️ Приклад: 𝐸(𝑦) = [𝑦₁; 𝑦₄].

3️⃣ Нулі функції — це значення аргументу, за яких 𝑦 = 0, тобто абсциси точок перетину графіка з віссю 𝑥.
✈️ Приклад: 𝑥₂; 𝑥₄; 𝑥₆.

4️⃣ Проміжки монотонності
🔍 функція зростає, якщо зі збільшенням 𝑥 значення 𝑦 збільшується;
🔍 функція спадає, якщо зі збільшенням 𝑥 значення 𝑦 зменшується.
✈️ Приклад:
🔍 функція зростає при 𝑥 ∈ [𝑥₁; 𝑥₃]∪[𝑥₅; 𝑥₇];
🔍 функція спадає при 𝑥 ∈ [𝑥₃; 𝑥₅].

5️⃣ Проміжки знакосталості
🔍 додатні значення: 𝑦 > 0;
🔍 від’ємні значення: 𝑦 < 0.
✈️ Приклад:
🔍 𝑦 > 0 при 𝑥 ∈ (𝑥₂; 𝑥₄)∪(𝑥₆; 𝑥₇];
🔍 𝑦 < 0 при 𝑥 ∈ [𝑥₁; 𝑥₂)∪(𝑥₄; 𝑥₆).

6️⃣ Точки екстремуму — це значення аргументу, у яких змінюється характер монотонності функції.
✈️ Приклад:
🔍 точка максимуму: 𝑥ₘₐₓ = 𝑥₃;
🔍 точка мінімуму: 𝑥ₘᵢₙ = 𝑥₅.

7️⃣ Екстремуми функції — це відповідні значення функції у точках екстремуму.
✈️ Приклад:
🔍 максимум: 𝑦ₘₐₓ = 𝑦₃;
🔍 мінімум: 𝑦ₘᵢₙ = 𝑦₂.

8️⃣ Найбільше значення функції — це найбільше з усіх значень 𝑦 на області визначення (або на певному проміжку).
✈️ Приклад: max 𝑦 = 𝑦₄.

9️⃣ Найменше значення функції — це найменше з усіх значень 𝑦 на області визначення (або на певному проміжку).
✈️ Приклад: min 𝑦 = 𝑦₁.

📌 Уміння працювати з графіками функцій дозволяє швидко знаходити нулі, екстремуми, проміжки зростання і спадання — саме ці навички найчастіше перевіряються в тестових завданнях.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog