🔥 Лінійні нерівності та їх системи

Після ознайомлення з властивостями числових нерівностей логічно перейти до нерівностей зі змінною. Практично всі складні нерівності спрощуються до лінійних, тому їх треба обов'язково вміти розв'язувати. У цьому пості розглянемо, що таке лінійні нерівності, як їх розв’язувати та як працювати з їх системами.

✈️ Нерівність з однією змінною — два вирази, що містять змінну, з’єднані знаком >, <, ⩾, ⩽.
✈️ Приклади:
🔍 5𝑥 − 2 ⩾ 8, −7𝑥 < 14, 9 − 𝑥 > 0 — нерівності з однією змінною;
🔍 3𝑥 − 𝑦 ⩽ 1, 2𝑥 + 4𝑦 > 6 — нерівності з двома змінними.

✈️ Розв’язок нерівності — це таке значення змінної, за якого нерівність стає істинною числовою.
✈️ Приклад: 𝑥 = −1 є розв’язком нерівності 𝑥 < 2, оскільки −1 < 2.

✈️ Розв’язати нерівність — означає знайти всі її розв’язки або довести, що таких значень не існує.
✈️ Приклад: нерівність 𝑥² < −4 не має розв’язків, оскільки 𝑥² ⩾ 0 (завжди) для будь-якого 𝑥.

🔍 Лінійна нерівність — нерівність виду

𝑎𝑥 V 𝑏,

де 𝑥 — змінна, 𝑎 і 𝑏 — числа, V ∈ {>, <, ⩾, ⩽}.

✈️ Розв’язки таких нерівностей зазвичай записують у вигляді числових проміжків:
🔍 𝑥 > 𝑎 → 𝑥 ∈ (𝑎; +∞);
🔍 𝑥 < 𝑎 → 𝑥 ∈ (−∞; 𝑎);
🔍 𝑥 ⩾ 𝑎 → 𝑥 ∈ [𝑎; +∞);
🔍 𝑥 ⩽ 𝑎 → 𝑥 ∈ (−∞; 𝑎].

🔍 Рівносильні перетворення нерівностей. Під час розв’язування лінійних нерівностей використовують ті самі логічні кроки, що й у рівняннях, але з урахуванням знака нерівності.

1️⃣ Перенесення доданків. Якщо перенести доданок з однієї частини нерівності в іншу, змінивши знак, отримаємо рівносильну нерівність.
✈️ Приклад: 𝑥 + 4 < 9
𝑥 < 9 − 4
𝑥 < 5.

2️⃣ Множення або ділення на додатне число. При множенні або діленні обох частин на додатне число знак нерівності не змінюється.
✈️ Приклад: 3𝑥 > 12
𝑥 > 4.

3️⃣ Множення або ділення на від’ємне число. При множенні або діленні на від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.
✈️ Приклад: −2𝑥 ⩽ 10
𝑥 ⩾ −5.

❗️ Цей момент є одним із найважливіших і найчастіше призводить до помилок.

🔍 Система лінійних нерівностей — це кілька лінійних нерівностей, які повинні виконуватися одночасно, наприклад:

{ 𝑎₁𝑥 V 𝑏₁,
{ 𝑎₂𝑥 V 𝑏₂,

де 𝑥 — змінна, V ∈ {>, <, ⩾, ⩽}.

✈️ Алгоритм розв’язування системи:
1️⃣ Розв’язати кожну нерівність окремо.
2️⃣ Записати множини їх розв’язків.
3️⃣ Знайти переріз цих множин — це і буде розв’язок системи.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog