⚡️ Числові нерівності та їх властивості

Більшість підписників обрала продовження алгебри, отож продовжимо алгебру. Після рівнянь логічно перейти до нерівностей — інструмента, без якого неможливо описати оцінки, обмеження та наближені значення. Саме числові нерівності є базою для подальшого вивчення алгебраїчних нерівностей і функцій.

🔍 Нерівність — запис, у якому два вирази з’єднані знаками:

> (більше),
< (менше),
⩾ (більше або дорівнює; не менше),
⩽ (менше або дорівнює; не більше).

✈️ Якщо обидві частини нерівності є числовими виразами, то таку нерівність називають числовою.

✈️ Числові нерівності поділяють на:

🔍 істинні (правильні):
🔍−5 < −1;
🔍0,75 ⩽ 0,8;
🔍√10 > 3.

🔍 хибні (неправильні):
🔍−3 > 2;
🔍0,4 > 0,45;
🔍√2 ⩾ 2.

🔍 Порівняння чисел через різницю. Для чисел 𝑎 і 𝑏 зручно використовувати такі еквівалентні твердження:
🔍 якщо 𝑎 > 𝑏, то 𝑎 − 𝑏 > 0, і навпаки;
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏, то 𝑎 − 𝑏 < 0, і навпаки;
🔍 якщо 𝑎 = 𝑏, то 𝑎 − 𝑏 = 0, і навпаки.
Ці правила особливо корисні під час доведень та оцінювання виразів.

✈️ Строгі та нестрогі нерівності. За видом знака розрізняють:
✈️ строгі нерівності: >, <
✈️ нестрогі нерівності: ⩾, ⩽

✈️ Приклади:
🔍𝑎 > 0 — строга нерівність,
🔍𝑏 ⩽ 7 — нестрога нерівність.

🔍 Основні властивості нерівностей. Нехай 𝑎, 𝑏, 𝑐 — деякі числа. Тоді виконуються такі властивості:
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏, то 𝑏 > 𝑎;
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏 і 𝑏 < 𝑐, то 𝑎 < 𝑐 (тобто 𝑎 < 𝑏 < 𝑐);
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏, то 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐;
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏, то 𝑎 − 𝑐 < 𝑏 − 𝑐;
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏 і 𝑐 > 0, то 𝑎 ⋅ 𝑐 < 𝑏 ⋅ 𝑐;
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏 і 𝑐 < 0, то 𝑎 ⋅ 𝑐 > 𝑏 ⋅ 𝑐;
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏 і 𝑐 > 0, то 𝑎/𝑐 < 𝑏/𝑐;
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏 і 𝑐 < 0, то 𝑎/𝑐 > 𝑏/𝑐;
🔍 якщо 𝑎𝑏 > 0 і 𝑎 < 𝑏, то 1/𝑎 > 1/𝑏.

❗️ Саме на зміну знака при множенні або діленні на від’ємне число учні найчастіше не звертають уваги.

✈️ Подвійні нерівності. Подвійні нерівності використовують для оцінювання значень величин:

𝑚 < 𝑥 ⩽ 𝑛

Такі записи широко застосовують під час опису похибок вимірювань, проміжків часу, маси, температури, вартості тощо.

🔍 Теореми додавання та множення нерівностей:
🔍 якщо 𝑎 > 𝑏 і 𝑐 > 𝑑, то 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑑;
🔍 якщо 𝑎 > 𝑏, 𝑐 > 𝑑 і всі числа додатні, то 𝑎 ⋅ 𝑐 > 𝑏 ⋅ 𝑑;
🔍 якщо 𝑎 > 𝑏 і 𝑎, 𝑏 > 0, то 𝑎ⁿ > 𝑏ⁿ, де 𝑛 ∈ ℕ.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

🔥 Лінійні нерівності та їх системи

Після ознайомлення з властивостями числових нерівностей логічно перейти до нерівностей зі змінною. Практично всі складні нерівності спрощуються до лінійних, тому їх треба обов'язково вміти розв'язувати. У цьому пості розглянемо, що таке лінійні нерівності, як їх розв’язувати та як працювати з їх системами.

✈️ Нерівність з однією змінною — два вирази, що містять змінну, з’єднані знаком >, <, ⩾, ⩽.
✈️ Приклади:
🔍 5𝑥 − 2 ⩾ 8, −7𝑥 < 14, 9 − 𝑥 > 0 — нерівності з однією змінною;
🔍 3𝑥 − 𝑦 ⩽ 1, 2𝑥 + 4𝑦 > 6 — нерівності з двома змінними.

✈️ Розв’язок нерівності — це таке значення змінної, за якого нерівність стає істинною числовою.
✈️ Приклад: 𝑥 = −1 є розв’язком нерівності 𝑥 < 2, оскільки −1 < 2.

✈️ Розв’язати нерівність — означає знайти всі її розв’язки або довести, що таких значень не існує.
✈️ Приклад: нерівність 𝑥² < −4 не має розв’язків, оскільки 𝑥² ⩾ 0 (завжди) для будь-якого 𝑥.

🔍 Лінійна нерівність — нерівність виду

𝑎𝑥 V 𝑏,

де 𝑥 — змінна, 𝑎 і 𝑏 — числа, V ∈ {>, <, ⩾, ⩽}.

✈️ Розв’язки таких нерівностей зазвичай записують у вигляді числових проміжків:
🔍 𝑥 > 𝑎 → 𝑥 ∈ (𝑎; +∞);
🔍 𝑥 < 𝑎 → 𝑥 ∈ (−∞; 𝑎);
🔍 𝑥 ⩾ 𝑎 → 𝑥 ∈ [𝑎; +∞);
🔍 𝑥 ⩽ 𝑎 → 𝑥 ∈ (−∞; 𝑎].

🔍 Рівносильні перетворення нерівностей. Під час розв’язування лінійних нерівностей використовують ті самі логічні кроки, що й у рівняннях, але з урахуванням знака нерівності.

1️⃣ Перенесення доданків. Якщо перенести доданок з однієї частини нерівності в іншу, змінивши знак, отримаємо рівносильну нерівність.
✈️ Приклад: 𝑥 + 4 < 9
𝑥 < 9 − 4
𝑥 < 5.

2️⃣ Множення або ділення на додатне число. При множенні або діленні обох частин на додатне число знак нерівності не змінюється.
✈️ Приклад: 3𝑥 > 12
𝑥 > 4.

3️⃣ Множення або ділення на від’ємне число. При множенні або діленні на від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.
✈️ Приклад: −2𝑥 ⩽ 10
𝑥 ⩾ −5.

❗️ Цей момент є одним із найважливіших і найчастіше призводить до помилок.

🔍 Система лінійних нерівностей — це кілька лінійних нерівностей, які повинні виконуватися одночасно, наприклад:

{ 𝑎₁𝑥 V 𝑏₁,
{ 𝑎₂𝑥 V 𝑏₂,

де 𝑥 — змінна, V ∈ {>, <, ⩾, ⩽}.

✈️ Алгоритм розв’язування системи:
1️⃣ Розв’язати кожну нерівність окремо.
2️⃣ Записати множини їх розв’язків.
3️⃣ Знайти переріз цих множин — це і буде розв’язок системи.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog