⚡️ Числові нерівності та їх властивості

Більшість підписників обрала продовження алгебри, отож продовжимо алгебру. Після рівнянь логічно перейти до нерівностей — інструмента, без якого неможливо описати оцінки, обмеження та наближені значення. Саме числові нерівності є базою для подальшого вивчення алгебраїчних нерівностей і функцій.

🔍 Нерівність — запис, у якому два вирази з’єднані знаками:

> (більше),
< (менше),
⩾ (більше або дорівнює; не менше),
⩽ (менше або дорівнює; не більше).

✈️ Якщо обидві частини нерівності є числовими виразами, то таку нерівність називають числовою.

✈️ Числові нерівності поділяють на:

🔍 істинні (правильні):
🔍−5 < −1;
🔍0,75 ⩽ 0,8;
🔍√10 > 3.

🔍 хибні (неправильні):
🔍−3 > 2;
🔍0,4 > 0,45;
🔍√2 ⩾ 2.

🔍 Порівняння чисел через різницю. Для чисел 𝑎 і 𝑏 зручно використовувати такі еквівалентні твердження:
🔍 якщо 𝑎 > 𝑏, то 𝑎 − 𝑏 > 0, і навпаки;
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏, то 𝑎 − 𝑏 < 0, і навпаки;
🔍 якщо 𝑎 = 𝑏, то 𝑎 − 𝑏 = 0, і навпаки.
Ці правила особливо корисні під час доведень та оцінювання виразів.

✈️ Строгі та нестрогі нерівності. За видом знака розрізняють:
✈️ строгі нерівності: >, <
✈️ нестрогі нерівності: ⩾, ⩽

✈️ Приклади:
🔍𝑎 > 0 — строга нерівність,
🔍𝑏 ⩽ 7 — нестрога нерівність.

🔍 Основні властивості нерівностей. Нехай 𝑎, 𝑏, 𝑐 — деякі числа. Тоді виконуються такі властивості:
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏, то 𝑏 > 𝑎;
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏 і 𝑏 < 𝑐, то 𝑎 < 𝑐 (тобто 𝑎 < 𝑏 < 𝑐);
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏, то 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐;
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏, то 𝑎 − 𝑐 < 𝑏 − 𝑐;
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏 і 𝑐 > 0, то 𝑎 ⋅ 𝑐 < 𝑏 ⋅ 𝑐;
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏 і 𝑐 < 0, то 𝑎 ⋅ 𝑐 > 𝑏 ⋅ 𝑐;
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏 і 𝑐 > 0, то 𝑎/𝑐 < 𝑏/𝑐;
🔍 якщо 𝑎 < 𝑏 і 𝑐 < 0, то 𝑎/𝑐 > 𝑏/𝑐;
🔍 якщо 𝑎𝑏 > 0 і 𝑎 < 𝑏, то 1/𝑎 > 1/𝑏.

❗️ Саме на зміну знака при множенні або діленні на від’ємне число учні найчастіше не звертають уваги.

✈️ Подвійні нерівності. Подвійні нерівності використовують для оцінювання значень величин:

𝑚 < 𝑥 ⩽ 𝑛

Такі записи широко застосовують під час опису похибок вимірювань, проміжків часу, маси, температури, вартості тощо.

🔍 Теореми додавання та множення нерівностей:
🔍 якщо 𝑎 > 𝑏 і 𝑐 > 𝑑, то 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑑;
🔍 якщо 𝑎 > 𝑏, 𝑐 > 𝑑 і всі числа додатні, то 𝑎 ⋅ 𝑐 > 𝑏 ⋅ 𝑑;
🔍 якщо 𝑎 > 𝑏 і 𝑎, 𝑏 > 0, то 𝑎ⁿ > 𝑏ⁿ, де 𝑛 ∈ ℕ.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog