⚡️ Площа трикутника

Сьогодні остання тема, присвячена трикутникам, — обчислення площ трикутників. Ця тема є досить важливою, оскільки в подальшому може часто зустрічатися і вона нерідко зустрічається у завданнях НМТ.

❗️ Площа — фізична величина, що визначає розмір поверхні деякої геометричної фігури, виражена у квадратних одиницях.

✈️ Приклад. Площа 16 см² означає, що геометрична фігура займає місце на поверхні у 16 квадратів зі стороною 1 см кожний.

🔍 Формули для обчислення площі трикутника.

1️⃣ За стороною і висотою. Площа 𝑆 трикутника півдобутку сторони 𝑎 та висоти ℎ, проведеної до цієї сторони:

𝑆 = 𝑎 ⋅ ℎ/2

2️⃣ За двома сторонами і кутом між ними. Площа 𝑆 трикутника півдобутку сторін 𝑎 і 𝑏 та на синус кута 𝛾 між ними:

𝑆 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ sin(𝛾) / 2

3️⃣ За трьома сторонами (формула Герона). Площа 𝑆 трикутника зі сторонами 𝑎, 𝑏, 𝑐 можна знайти за формулою:

𝑆 = √[𝑝(𝑝 – 𝑎)(𝑝 – 𝑏)(𝑝 – 𝑐)],

де 𝑝 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)/2 — півпериметр трикутника.

Доведення формули №2 і №3 дивіться на скриншотах.

✈️ Додаткові корисні формули

🔍 Площа 𝑆 прямокутного трикутника дорівнює півдобутку катетів 𝑎 і 𝑏:
𝑆 = 𝑎𝑏/2

🔍Площа 𝑆 рівностороннього трикутника зі стороною 𝑎:
𝑆 = 𝑎²√3/4

🔍 Властивість відрізка, проведеного з вершини трикутника до його сторони. Якщо з вершини 𝐵 трикутника 𝐴𝐵𝐶 провести довільний відрізок 𝐵𝑀 до сторони 𝐴𝐶, то площі отриманих трикутників 𝐴𝐵𝑀 і 𝐵𝑀𝐶 відносяться так, як відносяться відрізки 𝐴𝑀 і 𝑀𝐶:

𝑆(△𝐴𝐵𝑀) / 𝑆(△𝐵𝑀𝐶) = 𝐴𝑀 / 𝑀𝐶

Доведення цієї формули дивіться на скриншоті.

⏩ Особливий випадок. Якщо 𝐵𝑀 — медіана △𝐴𝐵𝐶, то:

𝑆(△𝐴𝐵𝑀) = 𝑆(△𝐵𝑀𝐶)

🔍 Площі подібних трикутників. Площі подібних трикутників відносяться як коефіцієнт подібності 𝑘 у квадраті:

𝑆(△𝐴₁𝐵₁𝐶₁) / 𝑆(△𝐴₂𝐵₂𝐶₂) = 𝑘²

Доведення цієї формули дивіться на скриншоті.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog