⚡️ Теорема синусів та її наслідки

Продовжуємо розглядати довільні трикутники та важливі в ньому теореми. Розглянемо іншу важливу теорему — теорему синусів.

🔍 Додаткові відомості з тригонометрії. Розглянемо, як працювати із синусами, косинусами і тангенсами тупих кутів:
🔍 sin (180° – 𝛼) = sin 𝛼;
🔍 cos (180° – 𝛼) = –cos 𝛼;
🔍 tg (180° – 𝛼) = –tg 𝛼;
🔍 sin (90° + 𝛼) = cos 𝛼;
🔍 cos (90° + 𝛼) = –sin 𝛼;
🔍 tg (90° + 𝛼) = –1/tg 𝛼.
Доведення цих формул буде, коли розглядатимемо в алгебрі тригонометрію.

🔍 Теорема синусів. Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів (див. скриншот):

𝑎/sin(𝛼) = 𝑏/sin(𝛽) = 𝑐/sin(𝛾)

Доведення цієї теореми дивіться на скриншоті.

❓ У яких ситуаціях використовувати теорему синусів?

1️⃣ Відомі два кути трикутника і одна сторона. Якщо у вас є інформація про величини двох кутів трикутника і довжині сторони, що лежить проти одного з цих кутів, теорема синусів дозволить знайти довжини двох інших сторін.

2️⃣ Відомі дві сторони трикутника і кут проти однієї з них. Коли відомі довжини двох сторін трикутника і величина кута, що лежить проти однієї з цих сторін, теорему синусів можна використовувати для знаходження величини кута, що лежить проти іншої відомої сторони, а потім і довжини третьої сторони.

✈️ Наслідки теореми синусів

🔍 У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона:

якщо 𝛼 < 𝛽 < 𝛾, то 𝑎 < 𝑏 < 𝑐

🔍 У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут:

якщо 𝑎 < 𝑏 < 𝑐, то 𝛼 < 𝛽 < 𝛾

👀 Коли будемо розглядати описане коло трикутника, визначимо ще один наслідок цієї теореми: діаметр цього кола дорівнює відношенню сторони трикутника до синуса протилежного кута.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog