⚡️ Теорема косинусів та її наслідки

Ми з вами завершили розглядати найважливіший трикутник у геометрії — прямокутний. Тут ми розглянемо теорему, яка застосовується у будь-якому трикутнику.

🔍 Додаткові відомості з тригонометрії. Розглянемо, як працювати із синусами, косинусами і тангенсами тупих кутів:
🔍 sin (180° – 𝛼) = sin 𝛼;
🔍 cos (180° – 𝛼) = –cos 𝛼;
🔍 tg (180° – 𝛼) = –tg 𝛼;
🔍 sin (90° + 𝛼) = cos 𝛼;
🔍 cos (90° + 𝛼) = –sin 𝛼;
🔍 tg (90° + 𝛼) = –1/tg 𝛼.
Доведення цих формул буде, коли розглядатимемо в алгебрі тригонометрію.

🔍 Теорема косинусів. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними (див. скриншот):

𝑐² = 𝑎² + 𝑏² – 2𝑎𝑏 cos 𝛾.

Доведення цієї теореми дивіться на скриншоті.

❓ У яких ситуаціях використовувати теорему косинусів?

1️⃣ Відомі дві сторони трикутника і кут між ними. Якщо у вас є інформація про довжини двох сторін трикутника та величину кута, що знаходиться між ними, теорема косинусів дозволить знайти довжину третьої сторони.

2️⃣ Відомі всі сторони трикутника. Коли відомі довжини всіх трьох сторін трикутника, теорему косинусів можна використовувати для обчислення величини будь-якого з його кутів.

✈️ Наслідки з теореми косинусів. Якщо 𝑐 — найбільша сторона трикутника, і 𝛾 — кут між сторонами 𝑎 і 𝑏:

🔍 𝑎² + 𝑏² > 𝑐², то 𝛾 — гострий, а трикутник — гострокутний (cos 𝛾 > 0);

🔍 𝑎² + 𝑏² = 𝑐², то 𝛾 — прямий, а трикутник — прямокутний (cos 𝛾 = 0);

🔍 𝑎² + 𝑏² < 𝑐², то 𝛾 — тупий, а трикутник — тупокутний (cos 𝛾 < 0).

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog