⚡️ Перпендикуляр, похила, проєкція та їхні властивості

Сьогодні розглянемо одну з найприкладніших тем планіметрії — як правильно працювати з перпендикуляром, похилою та їх проєкціями. У центрі уваги знову опиниться прямокутний трикутник, тож нам знадобляться й тригонометричні функції, і теорема Піфагора.

🔍 Основні поняття. Нехай є пряма 𝑎 та точка 𝐴, що їй не належить (див. скриншот).
🔍 Перпендикуляр 𝐴𝑂 до прямої 𝑎 — це відрізок прямої, перпендикулярної до даної, одним із кінців якого є точка 𝐴, а другим — точка 𝑂 перетину цих прямих.
🔍 Відстань від точки 𝐴 до прямої 𝑎 — це довжина перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної прямої.
🔍 Похила 𝐴𝐵 — це будь-який відрізок, проведений із точки на пряму, відмінний від перпендикуляра.
🔍 Проєкція 𝑂𝐵 похилої 𝐴𝐵 на пряму 𝑎 — це відрізок, що сполучає кінець перпендикуляра 𝑂 і кінець похилої 𝐵.

🔍 Важливі властивості (див. скриншот)

1️⃣ Перпендикуляр, проведений з точки до прямої, менший від будь-якої похилої, проведеної із цієї точки до цієї прямої.

перпендикуляр < будь-якої похилої

2️⃣ Якщо дві похилі, проведені з точки до прямої, між собою рівні, то рівні між собою і їхні проєкції.

рівні похилі = рівні проєкції

3️⃣ Якщо проєкції двох похилих, проведених з точки до прямої, між собою рівні, то рівні між собою і самі похилі.

рівні проєкції = рівні похилі

4️⃣ З двох похилих, проведених з точки до прямої, більшою є та, у якої більша проєкція.

більша проєкція → більша похила

5️⃣ З двох похилих, проведених з точки до прямої, більша похила має більшу проєкцію.

більша похила → більша проєкція

✈️ Усі ці властивості легко простежити, розглянувши два прямокутні трикутники зі спільним катетом та використавши Піфагора.

❓ На що звертати увагу, розв’язуючи задачі?

✈️ Почніть із рисунка. Навіть найпростішу схему потрібно відтворити — це значно зменшує ризик помилки.

✈️ Чітко вводьте позначення. Позначте всі відрізки, кути та основні точки: це полегшить застосування тригонометрії.

✈️ Виділіть короткі «дано» і «знайти». Так ви відразу розумітимете, яку саме формулу варто використати.

✈️ Використовуйте потрібні теореми. Залежно від конфігурації знадобляться:
🔍 тригонометричні співвідношення у прямокутному трикутнику;
🔍 теорема Піфагора;
🔍 властивості проєкцій.

✈️ Перевіряйте відповідь. Якщо відрізок «виглядає більшим» на рисунку — його обчислене значення повинно це підтверджувати.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog