🔥 Прямокутні трикутники з кутами 30°–60° та 45°–45°

У попередньому пості було розглянуто означення основних тригонометричних функцій та їх співвідношення. Тут розглянемо прямокутні трикутники із кутами, які в подальшому будуть постійно зустрічатися.

🔍 Прямокутний трикутник з кутами 30° і 60°. Нехай у прямокутному трикутнику 𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 = 90°, 𝐴𝐶 = 𝑎 — відомий катет, ∠𝐴 = 60°, ∠𝐵 = 30°.

1️⃣ Катет навпроти кута 30° — половина гіпотенузи. Якщо 𝐴𝐶 = 𝑎 і ∠𝐵 = 30°, то гіпотенуза:

 𝐴𝐵 = 2𝑎

2️⃣ Катет навпроти кута 60° — у √3 разів більший за інший. Якщо 𝐴𝐶 = 𝑎 і ∠𝐴 = 60°, то інший катет:

 𝐵𝐶 = 𝑎√3

✈️ Приклад. Нехай гіпотенуза дорівнює 8 см, один із гострих кутів — 30°. Тоді:
🔍 катет проти кута 30° дорівнює 8/2 = 4 см;
🔍 катет проти кута 60° дорівнює 4√3 см.

✈️ Доведення співвідношень та значень sin 30°, cos 30°, tg 30° і sin 60°, cos 60°, tg 60° подано на скриншоті.

🔍 Прямокутний трикутник з кутами 45° і 45°. Нехай у трикутнику 𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 = 90°, 𝐴𝐶 = 𝑎, ∠𝐴 = ∠𝐵 = 45°.

1️⃣ Катети рівні. Якщо ∠𝐴 = ∠𝐵 = 45° і 𝐴𝐶 = 𝑎, то:

 𝐵𝐶 = 𝑎

2️⃣ Гіпотенуза. Гіпотенуза більша у √2 рази за кожен із катетів.

 𝐴𝐵 = 𝑎√2

✈️ Приклад. Якщо в прямокутному трикутнику один із катетів дорівнює 4 см та один із кутів — 45°, то:
🔍 другий катет дорівнює 4 см;
🔍 гіпотенуза дорівнює 4√2 см.

✈️ Доведення співвідношень та значень sin 45°, cos 45°, tg 45° — на скриншоті.

❓ Як застосовувати ці співвідношення в задачах?
1️⃣ Зобразіть прямокутний трикутник за текстом задачі.
2️⃣ Якщо відомі одна сторона і гострий кут — це однозначно задача на тригонометрію.
3️⃣ Виберіть функцію (sin, cos або tg) гострого кута за означенням.
4️⃣ Підставте відомі значення з таблиці тригонометричних функцій.
5️⃣ Обчисліть невідому сторону.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog