⚡️ Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику

Сьогодні торкнемося теми, яку часто недооцінюють, хоча вона здатна суттєво спростити складні геометричні задачі. Йдеться про співвідношення між відрізками в прямокутному трикутнику, які виникають після проведення висоти на гіпотенузу. Ці формули не завжди помітні на перший погляд, але коли ви знаєте, як вони працюють, багато задач стають значно простішими.

🔍 Основні твердження. Нехай у прямокутному трикутнику 𝐴𝐵𝐶 (∠𝐶 = 90°) катети 𝐴𝐶 = 𝑎 та 𝐵𝐶 = 𝑏, гіпотенуза 𝐴𝐵 = 𝑐. Висота 𝐶𝑀 = ℎ ділить гіпотенузу на два відрізки: 𝐴𝑀 = 𝑎₁ і 𝐵𝑀 = 𝑏₁, які називаються проєкціями катетів на гіпотенузу. У такій конфігурації працюють наступні факти.

1️⃣ Висота утворює два трикутники, подібні початковому. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, розбиває трикутник на два подібних між собою прямокутних трикутники, кожний з яких подібний даному трикутнику:

△𝐴𝐵𝐶 ~ △𝐴𝐶𝑀 ~ △𝐶𝐵𝑀

2️⃣ Співвідношення висоти та проєкцій катетів на гіпотенузу. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним проєкцій катетів на гіпотенузу:

ℎ² = 𝑎₁ ⋅ 𝑏₁.

3️⃣ Співвідношення катета, його проєкції та гіпотенузи. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи та проєкції цього катета на гіпотенузу:

𝑎² = 𝑐 ⋅ 𝑎₁,
𝑏² = 𝑐 ⋅ 𝑏₁.

4️⃣ Співвідношення між висотою, катетами і гіпотенузою. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює добутку катетів, поділених на гіпотенузу цього трикутника:

ℎ = (𝑎 ⋅ 𝑏)/𝑐.

Доведення цих тверджень дивіться на скриншоті.

❓ Коли в задачі застосовувати ці твердження?
Якщо бачите прямокутний трикутник і проведену з вершини прямого кута висоту, майже напевно задача натякає саме на ці співвідношення.
Також їх часто комбінують із подібністю, коли потрібно знайти кілька невідомих відрізків одночасно.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

✏️ Теорема Піфагора

Сьогодні розглядаємо одну з найвідоміших і найуживаніших теорем у всьому шкільному курсі математики. Вона знадобиться в задачах на чотирикутники, координатну геометрію, тригонометрію та для доведення інших теорем — тому вміти працювати з нею обов’язково.

🔍 Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Нехай у прямокутному трикутнику 𝐴𝐵𝐶 кут ∠𝐶 = 90°, катети 𝑎 = 𝐴𝐶, 𝑏 = 𝐵𝐶, гіпотенуза 𝑐 = 𝐴𝐵. Тоді:

𝑐² = 𝑎² + 𝑏²

🔍Доведення. Розглянемо прямокутний трикутник 𝐴𝐵𝐶, де ∠𝐶 = 90°. Опустимо висоту 𝐶𝐷 на гіпотенузу 𝐴𝐵. Висота ділить гіпотенузу на два відрізки:
✈️ 𝐴𝐷 = 𝑝;
✈️ 𝐷𝐵 = 𝑞;
✈️ гіпотенуза 𝑐 = 𝑝 + 𝑞;
✈️ катети: 𝑎 = 𝐴𝐶, 𝑏 = 𝐵𝐶;
✈️ висота: ℎ = 𝐶𝐷.
Відомі метричні співвідношення в прямокутному трикутнику:
1️⃣ Катет є середнім пропорційним:
{ 𝑎² = 𝑐 ⋅ 𝑝,
{ 𝑏² = 𝑐 ⋅ 𝑞.
2️⃣ Додаємо ці два рівняння:
𝑎² + 𝑏² = 𝑐⋅𝑝 + 𝑐⋅𝑞
𝑎² + 𝑏² = 𝑐(𝑝 + 𝑞)
3️⃣ Але 𝑝 + 𝑞 = 𝑐, тому:

𝑎² + 𝑏² = 𝑐²

Що і треба було довести.✈️

✈️ Як знайти катет. Якщо відома гіпотенуза та інший катет, то квадрат шуканого катета дорівнює різниці квадратів гіпотенузи та іншого катета:

𝑎² = 𝑐² – 𝑏²,
𝑏² = 𝑐² – 𝑎².

✈️ Наслідок. Якщо квадрат найбільшої сторони дорівнює сумі квадратів двох інших, трикутник — прямокутний.

✈️ Приклад. Якщо 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² → трикутник зі сторонами 8, 15, 17 — прямокутний.

✈️ Піфагорові трійки — це набори цілих чисел (𝑎, 𝑏, 𝑐), які задовольняють 𝑐² = 𝑎² + 𝑏². Найпоширеніші з них:
🔍 3, 4, 5;
🔍 5, 12, 13;
🔍 7, 24, 25;
🔍 8, 15, 17.

✈️ Як отримати інші трійки? Помножте кожне число на будь-який натуральний множник.
✈️ Приклад: 3–4–5 → множимо на 2 → отримуємо 6–8–10.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog