⚡️ Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику

Сьогодні торкнемося теми, яку часто недооцінюють, хоча вона здатна суттєво спростити складні геометричні задачі. Йдеться про співвідношення між відрізками в прямокутному трикутнику, які виникають після проведення висоти на гіпотенузу. Ці формули не завжди помітні на перший погляд, але коли ви знаєте, як вони працюють, багато задач стають значно простішими.

🔍 Основні твердження. Нехай у прямокутному трикутнику 𝐴𝐵𝐶 (∠𝐶 = 90°) катети 𝐴𝐶 = 𝑎 та 𝐵𝐶 = 𝑏, гіпотенуза 𝐴𝐵 = 𝑐. Висота 𝐶𝑀 = ℎ ділить гіпотенузу на два відрізки: 𝐴𝑀 = 𝑎₁ і 𝐵𝑀 = 𝑏₁, які називаються проєкціями катетів на гіпотенузу. У такій конфігурації працюють наступні факти.

1️⃣ Висота утворює два трикутники, подібні початковому. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, розбиває трикутник на два подібних між собою прямокутних трикутники, кожний з яких подібний даному трикутнику:

△𝐴𝐵𝐶 ~ △𝐴𝐶𝑀 ~ △𝐶𝐵𝑀

2️⃣ Співвідношення висоти та проєкцій катетів на гіпотенузу. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним проєкцій катетів на гіпотенузу:

ℎ² = 𝑎₁ ⋅ 𝑏₁.

3️⃣ Співвідношення катета, його проєкції та гіпотенузи. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи та проєкції цього катета на гіпотенузу:

𝑎² = 𝑐 ⋅ 𝑎₁,
𝑏² = 𝑐 ⋅ 𝑏₁.

4️⃣ Співвідношення між висотою, катетами і гіпотенузою. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює добутку катетів, поділених на гіпотенузу цього трикутника:

ℎ = (𝑎 ⋅ 𝑏)/𝑐.

Доведення цих тверджень дивіться на скриншоті.

❓ Коли в задачі застосовувати ці твердження?
Якщо бачите прямокутний трикутник і проведену з вершини прямого кута висоту, майже напевно задача натякає саме на ці співвідношення.
Також їх часто комбінують із подібністю, коли потрібно знайти кілька невідомих відрізків одночасно.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog