⚡️ Теорема Фалеса. Узагальнена теорема Фалеса

Сьогодні розглядаємо одну з тих геометричних теорем, які часто «забуваються» після 8 класу, але знову з’являються в складніших задачах на пропорції та подібність. Якщо розібратися в її логіці, багато задач стають значно простішими.

🔍 Теорема Фалеса. Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні між собою відрізки, то вони відтинають рівні між собою відрізки й на другій його стороні.
✈️ Запис: якщо ∠𝑂 — заданий кут, 𝐴₁𝐵₁ | | 𝐴₂𝐵₂ || 𝐴₃𝐵₃ і 𝑂𝐴₁ = 𝐴₁𝐴₂ = 𝐴₂𝐴₃, то 𝑂𝐵₁ = 𝐵₁𝐵₂ = 𝐵₂𝐵₃.
✈️ Наслідок: паралельні прямі, які перетинають дві дані прямі та відтинають на одній з них рівні відрізки, відтинають рівні відрізки і на другій прямій.

🔍 Доведення т. Фалеса.
1️⃣Нехай ∠𝑂 — заданий кут, 𝐴₁𝐵₁ || 𝐴₂𝐵₂ || 𝐴₃𝐵₃ та 𝑂𝐴₁ = 𝐴₁𝐴₂ = 𝐴₂𝐴₃.
2️⃣Проведемо 𝐴₁𝑀 || 𝐵₁𝐵₂ та 𝐴₂𝑁 || 𝐵₂𝐵₃.
3️⃣∠𝐴₂𝐴₁𝑀 = ∠𝐴₃𝐴₂𝑁 як відповідні при 𝐴₁𝐵₁ || 𝐴₂𝐵₂ і січній 𝑂𝐴₃.
4️⃣∠𝐴₁𝐴₂𝑀 = ∠𝐴₂𝐴₃𝑁 як відповідні при 𝐴₂𝐵₂ || 𝐴₃𝐵₃ і січній 𝑂𝐴₃.
5️⃣△𝐴₁𝐴₂𝑀 = △𝐴₂𝐴₃𝑁 за стороною і двома прилеглими кутами. Тоді 𝐴₁𝑀 = 𝐴₂𝑁.
6️⃣𝐴₁𝑀𝐵₂𝐵₁ — паралелограм (за побудовою). Тому 𝐴₁𝑀 = 𝐵₁𝐵₂.
7️⃣Аналогічно 𝐴₂𝑁𝐵₃𝐵₂ — паралелограм, тому 𝐴₂𝑁 = 𝐵₂𝐵₃.
8️⃣𝐴₁𝑀 = 𝐴₂𝑁, 𝐴₁𝑀 = 𝐵₁𝐵₂, 𝐴₂𝑁 = 𝐵₂𝐵₃, звідки 𝐵₁𝐵₂ = 𝐵₂𝐵₃.✈️

🔍 Узагальнена теорема Фалеса: паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на його сторонах пропорційні відрізки.
✈️ Запис: якщо ∠𝐴 — заданий кут, 𝐵𝐶 || 𝐵₁𝐶₁, то 𝐴𝐵/𝐵𝐵₁ = 𝐴𝐶/𝐶𝐶₁.
✈️ Наслідки:
🔍 𝐴𝐵/𝐴𝐶 = 𝐵𝐵₁/𝐶𝐶₁;
🔍 𝐴𝐵/𝐴𝐵₁ = 𝐴𝐶/𝐴𝐶₁.

Доведення узагальненої теореми Фалеса дивіться на скриншоті.

⚠️ Висновок: ці теореми застосовуються тоді, коли ви бачите ситуацію, де є дві або більше паралельних прямих, які відтинають сторони кута чи сторони якоїсь фігури даного кута на відрізки в деякому відношенні.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Подібність трикутників

Сьогодні розглянемо тему, яка чимось перегукується з рівністю трикутників. У цьому пості розглянемо подібність трикутників та їх основні властивості. Часто подібність трикутників можна буде бачити в темі «Чотирикутники».

🔍 Подібні трикутники — це трикутники, у яких відповідні сторони пропорційні, а відповідні кути рівні. Простіше кажучи, це трикутники, які однакові за формою, але різні за розмірами. Пропорційні — означає, що їх відношення рівні.
✈️ Позначення: △𝐴₁𝐵₁𝐶₁ ∼ △𝐴₂𝐵₂𝐶₂.
✈️ Властивість: подібні трикутники мають однакові відповідні кути і пропорційні відповідні сторони, а також пропорційні периметри.
✈️ Приклад. Якщо △𝐴₁𝐵₁𝐶₁ ∼ △𝐴₂𝐵₂𝐶₂, то:
🔍 𝐴₁𝐵₁ / 𝐴₂𝐵₂ = 𝐵₁𝐶₁ / 𝐵₂𝐶₂ = 𝐴₁𝐶₁ / 𝐴₂𝐶₂ = 𝑘
🔍 𝑃(△𝐴₁𝐵₁𝐶₁) / 𝑃(△𝐴₂𝐵₂𝐶₂) = 𝑘
🔍 ∠𝐴₁ = ∠𝐴₂;
🔍∠𝐵₁ = ∠𝐵₂;
🔍∠𝐶₁ = ∠𝐶₂.

✈️ Тут число 𝑘 називають коефіцієнтом подібності трикутників.
✈️ Приклад. Якщо 𝑘 = 2, то всі сторони одного трикутника вдвічі більші за відповідні сторони іншого трикутника.

✈️ Як і в рівності трикутників, запис позначення подібності потребує абсолютної уважності: відповідні кути позначають правильний запис подібності.
✈️ Приклад. Якщо трикутники 𝐴𝐵𝐶 і 𝑀𝑁𝐾 подібні, причому ∠𝐴 = ∠𝑀, ∠𝐵 = ∠𝑁, ∠𝐶 = ∠𝐾, то за кутами правильно записати так: △𝐴𝐵𝐶 ∼ △𝑀𝑁𝐾.

Далі розглядатимемо перший вид задач, де в умові вже буде сказано, що трикутники є подібними, і можна користуватися всіма їхніми властивостями.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog