⚡️ Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Сьогодні розглянемо одну з основних тем шкільної геометрії. Саме вона лежить в основі більшості задач на знаходження кутів, властивостей трикутників та побудов. Якщо ви впевнено володієте цими фактами — половина задач уже розв’язана.

🔍 Теорема про суму кутів трикутника. Сума кутів трикутника дорівнює 180°:

Для Δ𝐴𝐵𝐶 маємо: ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°

🔍Доведення теореми (див. скриншот).
1️⃣У Δ𝐴𝐵𝐶 Через вершину 𝐵 проводимо пряму 𝐾𝑀 || 𝐴𝐶.
2️⃣∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐴𝐵𝐾 як внутрішні різносторонні кути при січній 𝐴𝐵.
3️⃣∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐶𝐵𝑀 як внутрішні різносторонні кути при січній 𝐵𝐶.
4️⃣∠𝐴𝐵𝐾, ∠𝐴𝐵𝐶 і ∠𝐶𝐵𝑀 утворюють розгорнутий кут, тому ∠𝐴𝐵𝐾 + ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐶𝐵𝑀 = 180°.
5️⃣Отже, ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°.✈️

✈️ Наслідок. Серед кутів трикутника принаймні два кути гострі.

✈️ Теорема про суму кутів трикутника дає змогу визначити зв'язки між кутами в особливих видах трикутників.

🔍 Рівносторонній трикутник. Якщо ∠𝐴 = ∠𝐵 = ∠𝐶 = 𝑥, то: 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 180° → 3𝑥 = 180° → 𝑥 = 60°.

🔍 Прямокутний трикутник. Нехай ∠𝐴 = 90°. Тоді ∠𝐵 + ∠𝐶 = 90° (бо сума всіх кутів має бути 180°).

🔍 Рівнобедрений трикутник. Якщо 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, то ∠𝐴 = ∠𝐶. Кожен із них: (180° – ∠𝐵)/2.

🔍 Зовнішній кут трикутника — це кут, суміжний із кутом цього трикутника.
🔍 Теорема. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, не суміжних з ним.
✈️ Приклад. Якщо ∠𝐵𝐶𝑀 — зовнішній, то: ∠𝐵𝐶𝑀 = ∠𝐴 + ∠𝐵.
✈️ Доведення теореми (див. скриншот):
1️⃣∠𝐶 = 180° – (∠𝐴 + ∠𝐵).
2️⃣∠𝐵𝐶𝑀 = 180° – ∠𝐶 = 180° – (180° – (∠𝐴 + ∠𝐵)) = ∠𝐴 + ∠𝐵.

✈️ Нерівність трикутника. Трикутник існує лише тоді, коли кожна його сторона:
🔍 менша за суму двох інших,
🔍 більша за модуль їх різниці.
✈️ Якщо 𝑎, 𝑏, 𝑐 — сторони трикутника, то:

|𝑏 – 𝑐| < 𝑎 < 𝑏 + 𝑐;
|𝑎 – 𝑐| < 𝑏 < 𝑎 + 𝑐;
|𝑎 – 𝑏| < 𝑐 < 𝑎 + 𝑏.

✈️ Приклад. Трикутник зі сторонами 5 см, 7 см і 8 см існує, бо |5 – 7| < 8 < 5 + 7, тобто 2 < 8 < 12. Трикутник зі сторонами 4 см, 6 см і 11 см НЕ існує, бо |4 – 6| < 11 ≮ 4 + 6, тобто 2 < 11 ≮ 10.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog