⚡️ Рівні трикутники. Ознаки рівності трикутників

Трикутники — одна з базових фігур геометрії, і вміння визначати, коли два трикутники є рівними, дуже часто спрощує задачі. Хоча на НМТ ця тема трапляється не надто часто, вона є важливою для правильного розуміння багатьох наступних властивостей та доведень. Сьогодні розбираємо, що означає рівність трикутників і за якими ознаками її можна встановити.

🔍 Рівні трикутники — це такі трикутники, які можна сумістити накладанням. Іншими словами, їхні відповідні сторони та кути однакові.
✈️ Позначення: Δ𝐴₁𝐵₁𝐶₁ = Δ𝐴₂𝐵₂𝐶₂.

✈️ Якщо трикутники Δ𝐴₁𝐵₁𝐶₁ і Δ𝐴₂𝐵₂𝐶₂ рівні, то відповідні елементи також рівні:
🔍 𝐴₁𝐵₁ = 𝐴₂𝐵₂
🔍𝐵₁𝐶₁ = 𝐵₂𝐶₂
🔍𝐴₁𝐶₁ = 𝐴₂𝐶₂
🔍∠𝐴₁ = ∠𝐴₂
🔍∠𝐵₁ = ∠𝐵₂
🔍∠𝐶₁ = ∠𝐶₂

Периметри однакові: 𝑃₁ = 𝑃₂

🔍 Важлива деталь щодо запису рівності. Порядок букв у записах Δ𝐴𝐵𝐶 та Δ𝑀𝑁𝐾 — не випадковий. Він визначає відповідність вершин.
✈️ Приклад. Якщо ∠𝐴 = ∠𝑀, ∠𝐵 = ∠𝑁, ∠𝐶 = ∠𝐾, тоді правильно записати: Δ𝐴𝐵𝐶 = Δ𝑀𝑁𝐾, а не Δ𝐴𝐶𝐵 = Δ𝑀𝐾𝑁 — це вже інша відповідність.

⚠️ ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ

1️⃣ За двома сторонами і кутом між ними. Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
✈️ Приклад. Якщо 𝐴₁𝐵₁ = 𝐴₂𝐵₂, 𝐴₁𝐶₁ = 𝐴₂𝐶₂ та ∠𝐴₁ = ∠𝐴₂, то Δ𝐴₁𝐵₁𝐶₁ = Δ𝐴₂𝐵₂𝐶₂.

2️⃣ За двома кутами і прилеглою стороною. Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні і прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
✈️ Приклад. Якщо 𝐵₁𝐶₁ = 𝐵₂𝐶₂, ∠𝐵₁ = ∠𝐵₂ та ∠𝐶₁ = ∠𝐶₂, то Δ𝐴₁𝐵₁𝐶₁ = Δ𝐴₂𝐵₂𝐶₂.

3️⃣ За трьома сторонами. Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
✈️ Приклад. Якщо 𝐴₁𝐵₁ = 𝐴₂𝐵₂, 𝐵₁𝐶₁ = 𝐵₂𝐶₂ та 𝐴₁𝐶₁ = 𝐴₂𝐶₂, то Δ𝐴₁𝐵₁𝐶₁ = Δ𝐴₂𝐵₂𝐶₂.

✈️ ОЗНАКИ РІВНОСТІ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ

1️⃣ За двома катетами. Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катетам другого, то такі трикутники рівні.
✈️ Приклад. Якщо 𝐴₁𝐵₁ = 𝐴₂𝐵₂, 𝐴₁𝐶₁ = 𝐴₂𝐶₂ та ∠𝐴₁ = ∠𝐴₂ = 90°, то Δ𝐴₁𝐵₁𝐶₁ = Δ𝐴₂𝐵₂𝐶₂.

2️⃣ За гіпотенузою і катетом. Якщо гіпотенуза та катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та катету другого, то такі трикутники рівні.
✈️ Приклад. Якщо 𝐵₁𝐶₁ = 𝐵₂𝐶₂, 𝐴₁𝐶₁ = 𝐴₂𝐶₂ та ∠𝐴₁ = ∠𝐴₂ = 90°, то Δ𝐴₁𝐵₁𝐶₁ = Δ𝐴₂𝐵₂𝐶₂.

3️⃣ За гіпотенузою і гострим кутом. Якщо гіпотенуза і один з гострих кутів одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі і гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.
✈️ Приклад. Якщо 𝐵₁𝐶₁ = 𝐵₂𝐶₂, ∠𝐵₁ = ∠𝐵₂ та ∠𝐴₁ = ∠𝐴₂ = 90°, то Δ𝐴₁𝐵₁𝐶₁ = Δ𝐴₂𝐵₂𝐶₂.

4️⃣ За катетом і гострим кутом. Якщо катет і гострий кут прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету й гострому куту другого, то такі трикутники рівні.
✈️ Приклад. Якщо 𝐴₁𝐵₁ = 𝐴₂𝐵₂, ∠𝐵₁ = ∠𝐵₂ та ∠𝐴₁ = ∠𝐴₂ = 90°,
то Δ𝐴₁𝐵₁𝐶₁ = Δ𝐴₂𝐵₂𝐶₂.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog