🔥 Ірраціональні рівняння

Ірраціональні рівняння — це рівняння, у яких змінна знаходиться під знаком кореня. Вони потребують особливої уважності, адже не всі отримані після піднесення до степеня корені є справжніми — деякі можуть бути зайвими. Розглянемо основні типи таких рівнянь і способи їх розв’язання 👇

1️⃣ Рівняння виду ⁿ√𝑓(𝑥) = 𝑎. Це найпростіший тип і найпопулярніший тип на НМТ. Тут 𝑓(𝑥) — вираз зі змінною, а 𝑎 — число.

✈️ Для коренів парного степеня:

• якщо 𝑎 > 0 → 𝑓(𝑥) = 𝑎ⁿ;
• якщо 𝑎 = 0 → 𝑓(𝑥) = 0;
• якщо 𝑎 < 0 → розв’язків немає.

✈️ Для коренів непарного степеня рівняння завжди має розв’язок:

𝑓(𝑥) = 𝑎ⁿ для будь-якого 𝑎.

✈️ Приклади:
➊ √𝑥 = 9
𝑥 = 9² = 81.
Відповідь: 𝑥 = 81 🔺

➋ ∜(𝑥 + 3) = 2
𝑥 + 3 = 2⁴
𝑥 + 3 = 16
𝑥 = 13.
Відповідь: 𝑥 = 13 🔺

➌ ∛(5𝑥 + 1) = –4
5𝑥 + 1 = (–4)³
5𝑥 + 1 = –64
5𝑥 = –65
𝑥 = –13.
Відповідь: 𝑥 = –13 🔺

2️⃣ Рівняння виду √𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥). Тут розв’язання просте: обидві частини підносимо до квадрата, але не забуваємо про ОДЗ (підкореневі вирази мають бути невід’ємними). Але через рівність достатньо записати ОДЗ того кореня, який є простішим. Загальна схема:

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
Умова: 𝑓(𝑥) ≥ 0

АБО:

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
Умова: 𝑔(𝑥) ≥ 0

✈️ Приклади:
➊ √(2𝑥 – 3) = √(𝑥 + 5)
ОДЗ: 𝑥 + 5 ≥ 0
Розв’язуємо: 2𝑥 – 3 = 𝑥 + 5 → 𝑥 = 8.
Перевірка: 8 + 5 = 13 ≥ 0
Відповідь: 𝑥 = 8 🔺

➋ √(𝑥² – 4𝑥) = √(𝑥 – 4)
ОДЗ: 𝑥 – 4 ≥ 0.
Підносимо до квадрата: 𝑥² – 4𝑥 = 𝑥 – 4
𝑥² – 5𝑥 + 4 = 0
𝑥₁ = 1, 𝑥₂ = 4.
Перевірка: 𝑥 = 1 — не підходить, бо не задовольняє ОДЗ; 𝑥 = 4 —підходить.
Відповідь: 𝑥 = 4 🔺

3️⃣ Рівняння виду √𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Такі рівняння потребують уважності, бо ліва частина не може бути від’ємною. Загальна схема:

𝑓(𝑥) = 𝑔²(𝑥)
Умова: 𝑔(𝑥) ≥ 0

✈️ Приклади:
➊ √(2𝑥 + 3) = 𝑥
Умова: 𝑥 ≥ 0.
Підносимо до квадрата: 2𝑥 + 3 = 𝑥²
𝑥² – 2𝑥 – 3 = 0
𝑥₁ = –1, 𝑥₂ = 3.
Перевірка: 𝑥 = –1 — не задовольняє умову 𝑥 ≥ 0; 𝑥 = 3 — підходить
Відповідь: 𝑥 = 3 🔺

➋ √(𝑥² – 𝑥 – 6) = 𝑥 – 1
Умова: 𝑥 – 1 ≥ 0.
Підносимо до квадрата: 𝑥² – 𝑥 – 6 = (𝑥 – 1)²
𝑥² – 𝑥 – 6 = 𝑥² – 2𝑥 + 1
–𝑥 – 6 = –2𝑥 + 1
𝑥 = 7.
Перевірка: 7 – 1 = 6 ≥ 0 — корінь 𝑥 = 7 підходить.
Відповідь: 𝑥 = 7 🔺

4️⃣ Рівняння, що розв’язуються методом заміни. Якщо в рівнянні повторюється один і той самий кореневий вираз, можна ввести заміну, щоб спростити обчислення.

✈️ Приклади:
➊ √𝑥 – ∜𝑥 – 6 = 0
Нехай ∜𝑥 = 𝑡 → тоді √𝑥 = 𝑡².
Отримуємо: 𝑡² – 𝑡 – 6 = 0 → 𝑡₁ = 3 або 𝑡₂ = –2.
Якщо 𝑡 = 3, то ∜𝑥 = 3 → 𝑥 = 81.
Якщо 𝑡 = –2, то ∜𝑥 = –2 → коренів немає.
Відповідь: 𝑥 = 81 🔺

➋ √(𝑥 + 2) – 4/√(𝑥 + 2) = 3
Нехай √(𝑥 + 2) = 𝑡, тоді 𝑡 – 4/𝑡 = 3.
Помножимо обидві частини на 𝑡: 𝑡² – 4 = 3𝑡
𝑡² – 3𝑡 – 4 = 0 → 𝑡₁ = 4 або 𝑡₂ = –1.
Якщо 𝑡 = 4, то √(𝑥 + 2) = 4 → 𝑥 + 2 = 16 → 𝑥 = 14.
Якщо 𝑡 = –1, то √(𝑥 + 2) = –1 → коренів немає.
Відповідь: 𝑥 = 14 🔺

💡 Підсумок. Ірраціональні рівняння — це завдання, де обережність важливіша за швидкість. Не забувайте про обмеження (умови), адже саме вони найчастіше відсіюють «зайві» корені.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog