⚡️ Рівняння, що містять модуль

Розглянемо рівняння з модулем. Це непрості рівняння, оскільки існує багато різних видів та їх розв'язання, а також обмеження на ці рівняння. Подивимось основні види і способи розв'язання таких рівнянь.

1️⃣ Рівняння виду |𝑓(𝑥)| = 𝑎. Тут 𝑓(𝑥) — будь-який вираз зі змінною 𝑥, а 𝑎 — число. Схема розв’язання:

🔍 якщо 𝑎 > 0 → 𝑓(𝑥) = 𝑎 або 𝑓(𝑥) = –𝑎;
🔍 якщо 𝑎 = 0 → 𝑓(𝑥) = 0;
🔍 якщо 𝑎 < 0 → розв’язків немає.

⚠️ Це той тип рівняння, який найчастіше зустрічається на НМТ.

✈️ Приклади:
➊ |𝑥| = 5
𝑥 = 5 або 𝑥 = –5
Відповідь: 𝑥 = ±5 🔺

➋ |5𝑥 – 4| = 6
5𝑥 – 4 = 6 або 5𝑥 – 4 = –6
𝑥 = 2 або 𝑥 = –0,4
Відповідь: 𝑥₁ = 2, 𝑥₂ = –0,4 🔺

➌ |𝑥² + 𝑥 – 2| = 0
𝑥² + 𝑥 – 2 = 0
𝑥₁ = –2, 𝑥₂ = 1
Відповідь: 𝑥₁ = –2, 𝑥₂ = 1 🔺

2️⃣ Рівняння виду |𝑓(𝑥)| = |𝑔(𝑥)|. Такі рівняння можна побачити у завданнях, де потрібно розкрити модулі симетрично. Схема розв’язання:

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) або 𝑓(𝑥) = –𝑔(𝑥)

✈️ Приклади:
➊ |𝑥 – 2| = |𝑥 + 6|
𝑥 – 2 = 𝑥 + 6 або 𝑥 – 2 = –(𝑥 + 6)
1) 𝑥 – 2 = 𝑥 + 6 → ❌ (немає розв’язків, бо –2 ≠ 6)
2) 𝑥 – 2 = –𝑥 – 6 → 2𝑥 = –4 → 𝑥 = –2
Відповідь: 𝑥 = –2 🔺

➋ |𝑥² – 4𝑥| = |𝑥 – 4|
𝑥² – 4𝑥 = 𝑥 – 4 або 𝑥² – 4𝑥 = –(𝑥 – 4)
1) 𝑥² – 5𝑥 + 4 = 0 → 𝑥₁ = 1, 𝑥₂ = 4
2) 𝑥² – 4𝑥 = –𝑥 + 4 → 𝑥² – 3𝑥 – 4 = 0 → 𝑥₁ = 4, 𝑥₂ = –1
Відповідь: 𝑥₁ = –1, 𝑥₂ = 1, 𝑥₃ = 4 🔺

3️⃣ Рівняння виду |𝑓(𝑥)| = 𝑔(𝑥). Такий тип рівнянь вже вимагає більшої зосередженості, адже має умову: його права частина не може бути від’ємною. Схема розв’язання:

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) або 𝑓(𝑥) = –𝑔(𝑥).
Умова: 𝑔(𝑥) ≥ 0

✈️ Приклади:
➊ |2𝑥 – 1| = 5𝑥 + 8
Умова: 5𝑥 + 8 ≥ 0
2𝑥 – 1 = 5𝑥 + 8 або 2𝑥 – 1 = –(5𝑥 + 8)
1) –1 – 8 = 3𝑥 → 𝑥 = –3
перевірка: 5(–3) + 8 = –7 < 0 ❌
2) 2𝑥 – 1 = –5𝑥 – 8 → 7𝑥 = –7 → 𝑥 = –1
перевірка: 5(–1) + 8 = 3 ≥ 0 ✅
Відповідь: 𝑥 = –1 🔺

➋ |𝑥² – 2𝑥 – 3| = 𝑥 – 3
Умова: 𝑥 – 3 ≥ 0
𝑥² – 2𝑥 – 3 = 𝑥 – 3 або 𝑥² – 2𝑥 – 3 = –(𝑥 – 3)
1) 𝑥² – 3𝑥 = 0 → 𝑥(𝑥 – 3) = 0 → 𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 3 → лише 𝑥 = 3 (з ОДЗ)
2) 𝑥² – 2𝑥 – 3 = –𝑥 + 3 → 𝑥² – 𝑥 – 6 = 0→ 𝑥₁ = 3, 𝑥₂ = –2 → лише 𝑥 = 3
Відповідь: 𝑥 = 3 🔺

4️⃣ Поскладнені рівняння з модулем. Коли рівняння не потрапляє під жодну з попередніх схем, треба розкрити модуль за визначенням:

|𝑓(𝑥)| = 𝑓(𝑥), якщо 𝑓(𝑥) ≥ 0,
|𝑓(𝑥)| = –𝑓(𝑥), якщо 𝑓(𝑥) < 0.

✈️ Приклади:
➊ 5𝑥 – 2|𝑥| = 21
1) 𝑥 ≥ 0 → |𝑥| = 𝑥 → 5𝑥 – 2𝑥 = 21 → 3𝑥 = 21 → 𝑥 = 7 ✅
2) 𝑥 < 0 → |𝑥| = –𝑥 → 5𝑥 – 2(–𝑥) = 21 → 7𝑥 = 21 → 𝑥 = 3 ❌ (бо 𝑥 < 0)
Відповідь: 𝑥 = 7 🔺

➋ 𝑥|𝑥 + 6| = 7
1) 𝑥 + 6 ≥ 0 → 𝑥(𝑥 + 6) = 7 → 𝑥² + 6𝑥 – 7 = 0 → 𝑥₁ = –7, 𝑥₂ = 1 → лише 𝑥 = 1 (бо 𝑥 + 6 ≥ 0)
2) 𝑥 + 6 < 0 → –𝑥(𝑥 + 6) = 7 → –𝑥² – 6𝑥 = 7 → 𝑥² + 6𝑥 + 7 = 0 → 𝐷 = 36 – 28 = 8 → 𝑥₁,₂ = (–6 ± √8)/2 → 𝑥 = –3 ± √2 → обидва < –6 ❌
Відповідь: 𝑥 = 1 🔺

💡 Порада: не забувайте, що після розкриття модуля обов’язково потрібно перевіряти, чи задовольняє кожен знайдений розв’язок умову для свого випадку!

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog