🔥 Дробово раціональні рівняння та їх системи

Дробово раціональні рівняння часто зустрічаються в шкільному курсі алгебри та на НМТ. Вони потребують уважності, оскільки мають обмеження на значення змінної (ОДЗ) і можуть містити знаменники, що не повинні дорівнювати нулю. У цьому пості пригадаємо, що таке дробово раціональні рівняння, які бувають способи їх розв’язування та як працювати з ними в системах рівнянь.

✈️ Дробово раціональне рівняння — це рівняння, у якому змінна входить до знаменника. Іншими словами, принаймні одна частина рівняння — дробово раціональний вираз.
✈️ Приклади:
🔍 (2𝑥 – 3)/(𝑥 + 2) = 0;
🔍 𝑥/(𝑥 – 3) = (𝑥 + 3)/8;
🔍 1/𝑥 + 1/(𝑥 – 4) = 1/(𝑥² – 4𝑥).

🔍 Спосіб 1. Коли дріб дорівнює нулю. Дріб може дорівнювати нулю лише тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю:

якщо 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) = 0, то
• 𝑓(𝑥) = 0;
• ОДЗ: 𝑔(𝑥) ≠ 0.

❗️ Завжди перевіряйте, чи не потрапляють знайдені корені під заборону (щоб знаменник не обертався в нуль).

✈️ Приклад. Розв’яжіть рівняння:
➊ (2𝑥 – 3)/(𝑥 + 2) = 0
ОДЗ: 𝑥 + 2 ≠ 0 → 𝑥 ≠ –2
2𝑥 – 3 = 0 → 𝑥 = 1,5
ОДЗ: 𝑥 ≠ –2 → 𝑥 = 1,5
Відповідь: 𝑥 = 1,5 🔺

➋ (𝑥² – 6𝑥 + 8)/(𝑥 – 4) = 0
ОДЗ: 𝑥 – 4 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 4
𝑥² – 6𝑥 + 8 = 0 → 𝑥₁ = 2, 𝑥₂ = 4
Але 𝑥 ≠ 4 (з ОДЗ) → лише 𝑥 = 2
Відповідь: 𝑥 = 2 🔺

🔍 Спосіб 2. Основна властивість пропорції. Якщо маємо рівняння виду 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) = 𝑝(𝑥)/𝑞(𝑥), то за основною властивістю пропорції:

𝑓(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑝(𝑥),
ОДЗ: 𝑔(𝑥) ≠ 0 і 𝑞(𝑥) ≠ 0.

✈️ Цей прийом часто допомагає позбутися знаменників, коли рівняння має вигляд «дробів = дробів».

✈️ Приклад. Розв’яжіть рівняння: 𝑥/(𝑥 – 3) = (𝑥 + 3)/8
ОДЗ: 𝑥 – 3 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 3
8𝑥 = (𝑥 – 3)(𝑥 + 3) → 8𝑥 = 𝑥² – 9
𝑥² – 8𝑥 – 9 = 0 → 𝑥₁ = –1, 𝑥₂ = 9
ОДЗ: 𝑥 ≠ 3 → обидва корені: 𝑥₁ = –1, 𝑥₂ = 9 підходять.
Відповідь: 𝑥₁ = –1, 𝑥₂ = 9 🔺

🔹 Спосіб 3. Приведення до спільного знаменника. Коли рівняння містить кілька дробів, зручно звести все до спільного знаменника та скористатись властивістю рівності дробів.

✈️ Приклад. Розв’яжіть рівняння: 1/𝑥 + 1/(𝑥 – 4) = 1/(𝑥² – 4𝑥)
ОДЗ: 𝑥 ≠ 0; 𝑥 – 4 ≠ 0; 𝑥² – 4𝑥 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ 4.
Зведемо до спільного знаменника: 𝑥(𝑥 – 4):
(𝑥 – 4 + 𝑥)/[𝑥(𝑥 – 4)] = 1/[𝑥(𝑥 – 4)]
(2𝑥 – 4)/[𝑥(𝑥 – 4)] = 1/[𝑥(𝑥 – 4)]
Оскільки знаменники рівні, то:
2𝑥 = 5 → 𝑥 = 2,5
ОДЗ: 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ 4 → 𝑥 = 2,5
Відповідь: 𝑥 = 2,5 🔺

🔹 Спосіб 4. Коли дробово раціональні рівняння є частиною системи. Такі системи розв’язуються звичайними методами — підстановки або додавання, але з урахуванням ОДЗ для кожного рівняння.

✈️ Приклад. Розв’яжіть систему рівнянь:
➊ { 𝑥/𝑦 = 2,
  { (5𝑥 + 2)/(𝑥 + 2𝑦) = 3.
З першого рівняння 𝑥 = 2𝑦.
Підставимо 𝑥 = 2𝑦:
(5(2𝑦) + 2)/(2𝑦 + 2𝑦) = 3 → (10𝑦 + 2)/(4𝑦) = 3
10𝑦 + 2 = 12𝑦 → 2 = 2𝑦 → 𝑦 = 1 → 𝑥 = 2𝑦 = 2
Відповідь: (2; 1) 🔺

➋ { 2𝑥 + 𝑦 = 14,
{ 7/𝑦 – 7/𝑥 = 7/20.
  У другому рівнянні: 7(1/𝑦 – 1/𝑥) = 7/20 → 1/𝑦 – 1/𝑥 = 1/20
  Маємо: (𝑥 – 𝑦)/(𝑥𝑦) = 1/20 → 𝑥 – 𝑦 = 𝑥𝑦/20.
  З першого рівняння 𝑦 = 14 – 2𝑥.
  Підставимо 𝑦 = 14 – 2𝑥 у друге рівняння:
  𝑥 – (14 – 2𝑥) = 𝑥(14 – 2𝑥)/20
  3𝑥 – 14 = (14𝑥 – 2𝑥²)/20 → 60𝑥 – 280 = 14𝑥 – 2𝑥²
  2𝑥² + 46𝑥 – 280 = 0 → 𝑥² + 23𝑥 – 140 = 0 → 𝑥₁ = –28, 𝑥₂ = 5
  Тоді 𝑦 = 14 – 2𝑥 → 𝑦₁ = 70 або 𝑦₂ = 4.
Відповідь: (–28; 70), (5; 4) 🔺

💡 Порада: завжди починайте з ОДЗ (розв'язувати його не обов'язково, але пам'ятайте про нього). Це допоможе уникнути «зайвих» коренів і помилок при перевірці.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog