⚡️ Рівняння вищих порядків

Багато учнів лякаються, коли бачать кубічне рівняння або рівняння зі степенями, більшими за 2. Але насправді все набагато простіше: більшість таких рівнянь можна звести до звичних квадратних або навіть лінійних, якщо знати кілька прийомів. У цьому пості розберемо основні типи рівнянь вищих степенів і навчимось розв’язувати їх різними способами 👇

🔍 Найпростіші рівняння вищих порядків — це такі рівняння, які мають вигляд:

𝑥ⁿ = 𝑎,

де 𝑛 — натуральне число, 𝑛 > 1.

1️⃣ Якщо показник непарний, рівняння завжди має один дійсний корінь: 𝑥 = ⁿ√𝑎.
2️⃣ Якщо показник парний, тоді:
  • при 𝑎 > 0 → 𝑥 = ±ⁿ√𝑎;
  • при 𝑎 = 0 → 𝑥 = 0;
  • при 𝑎 < 0 → дійсних коренів немає.

✈️ Приклад. Розв’яжіть рівняння:
➊ 3𝑥⁵ = 96
  → 𝑥⁵ = 32 → 𝑥 = ⁵√32 → 𝑥 = 2.
  Відповідь: 𝑥 = 2. 🔺

➋ 2𝑥⁴ – 15 = 147
  → 2𝑥⁴ = 162 → 𝑥⁴ = 81 → 𝑥 = ±⁴√81 → 𝑥 = ±3.
  Відповідь: 𝑥 = ±3. 🔺

➌ (𝑥 – 1)³ = –0,064
  → 𝑥 – 1 = ³√(–0,064) → 𝑥 – 1 = –0,4 → 𝑥 = 0,6.
  Відповідь: 𝑥 = 0,6. 🔺

🔍 Розкладання на множники. Якщо рівняння можна подати у вигляді добутку, то використовуємо властивість: якщо добуток множників дорівнює нулю, то хоча б один із множників дорівнює нулю:

якщо 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) ⋅ ... = 0,
то 𝑓(𝑥) = 0, або 𝑔(𝑥) = 0, або 𝑞(𝑥) = 0, або ... .

✈️ Приклад. Розв’яжіть рівняння:
➊ 𝑥³ – 𝑥² – 6𝑥 = 0
  → 𝑥(𝑥² – 𝑥 – 6) = 0
  → 𝑥(𝑥 – 3)(𝑥 + 2) = 0
  → 𝑥 = 0, або 𝑥 – 3 = 0, або 𝑥 + 2 = 0
  → 𝑥, або 𝑥 = 3, або 𝑥 = –2
  Відповідь: 𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 3, 𝑥₃ = –2.

➋ 𝑥³ + 3𝑥² – 4𝑥 – 12 = 0
  → (𝑥³ + 3𝑥²) – (4𝑥 + 12) = 0
  → 𝑥²(𝑥 + 3) – 4(𝑥 + 3) = 0
  → (𝑥 + 3)(𝑥² – 4) = 0
  → (𝑥 + 3)(𝑥 – 2)(𝑥 + 2) = 0
  → 𝑥 + 3 = 0, або 𝑥 – 2 = 0, або 𝑥 + 2 = 0
  → 𝑥 = –3, або 𝑥 = 2, або 𝑥 = –2
  Відповідь: 𝑥₁ = –3, 𝑥₂ = 2, 𝑥₃ = –2. 🔺

🔍 Уведення заміни. Коли у рівнянні повторюється певний вираз, можна зробити заміщення: позначити його новою змінною (наприклад, 𝑡), розв’язати спрощене рівняння, а потім повернутися назад до 𝑥.

✈️ Приклад. Розв’яжіть рівняння:

➊ 𝑥⁴ – 2𝑥² – 24 = 0 (біквадратне рівняння)
 Зробимо заміну: 𝑥² = 𝑡; 𝑥⁴ = 𝑡².
 Отримаємо 𝑡² – 2𝑡 – 24 = 0.
 Знайдемо корені: 𝑡₁ = 6, 𝑡₂ = –4.
 Для 𝑡 = 6 → 𝑥² = 6 → 𝑥 = ±√6.
 Для 𝑡 = –4 → 𝑥² = –4 → немає дійсних коренів.
  Відповідь: 𝑥 = ±√6. 🔺

➋ (𝑥 – 4)⁴ – (𝑥 – 4)² – 12 = 0
 Позначимо 𝑡 = (𝑥 – 4)². Тоді 𝑡² = (𝑥 – 4)⁴.
 Маємо: 𝑡² – 𝑡 – 12 = 0 → (𝑡 – 4)(𝑡 + 3) = 0 → 𝑡₁ = 4, 𝑡₂ = –3.
 Для 𝑡 = 4 → (𝑥 – 4)² = 4 → 𝑥 – 4 = ±2 → 𝑥 = 6 або 𝑥 = 2.
 Для 𝑡 = –3 → (𝑥 – 4)² = –3 → дійсних коренів немає.
  Відповідь: 𝑥₁ = 2; 𝑥₂ = 6. 🔺

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog