⚡️ Системи рівнянь, що зводяться до розв'язання квадратних рівнянь

У математиці часто трапляються системи рівнянь, де обидва рівняння не є лінійними. Вони можуть містити добутки змінних, степені, або навіть приховані залежності. Такі системи іноді називають нелінійними або системами другого степеня.

✈️ Щоб розв’язати їх, потрібно застосовувати ті ж самі логічні прийоми, що й при роботі з лінійними системами — підстановку, додавання, або заміну виразів, — але з уважністю до можливих квадратних рівнянь, які виникають у процесі.

🔍 Спосіб підстановки. Використовується, коли легко виразити одну змінну через іншу.

✈️ Алгоритм:
1️⃣ Виразити одну змінну через іншу з одного рівняння.
2️⃣ Підставити отриманий вираз у друге рівняння.
3️⃣ Розв’язати рівняння з однією змінною (часто квадратне).
4️⃣ Підставити знайдені значення у перше рівняння, щоб знайти другу змінну.
5️⃣ Записати відповідь парами (𝑥; 𝑦).

✈️ Приклад 1. Розв’яжіть систему рівнянь:
{ 𝑥(𝑦 + 2) = 3,
{ 𝑥𝑦 = 5.
Розв’язання:
➊ З першого рівняння: 𝑥𝑦 + 2𝑥 = 3.
➋ Підставимо 𝑥𝑦 = 5 в перше рівняння → 5 + 2𝑥 = 3 → 2𝑥 = –2 → 𝑥 = –1.
➌ Підставимо 𝑥 = –1 у 𝑥𝑦 = 5 → (–1) ⋅ 𝑦 = 5 → 𝑦 = –5.
Відповідь: (𝑥; 𝑦) = (–1; –5). 🔺

✈️ Приклад 2. Розв’яжіть систему:
{ 𝑥² + 𝑦² = 10,
{ 𝑥 – 𝑦 = 2.
Розв’язання:
➊ З другого рівняння 𝑥 = 𝑦 + 2.
➋ Підставимо 𝑥 = 𝑦 + 2 в перше рівняння:
(𝑦 + 2)² + 𝑦² = 10 → 𝑦² + 4𝑦 + 4 + 𝑦² = 10 → 2𝑦² + 4𝑦 – 6 = 0 → 𝑦² + 2𝑦 – 3 = 0 → 𝑦₁ = –3, 𝑦₂ = 1.
➌ Маємо:
• для 𝑦 = –3 → 𝑥 = –1;
• для 𝑦 = 1 → 𝑥 = 3.
Відповідь: (𝑥; 𝑦) = (–1; –3) або (3; 1). 🔺

🔍 Спосіб додавання. Зручний, коли можна зробити коефіцієнти при одній зі змінних протилежними.

✈️ Алгоритм:
1️⃣ Зробити так, щоб коефіцієнти при одній змінній були однаковими.
2️⃣ Додати або відняти рівняння системи.
3️⃣ Знайти одну змінну, потім іншу.

✈️ Приклад 3. Розв’яжіть систему:
{ 2𝑥 + 3𝑥𝑦 = 7,
{ 𝑥 – 3𝑥𝑦 = 8.
Розв’язання:
➊ Додамо почленно рівняння:
(2𝑥 + 𝑥) + (3𝑥𝑦 – 3𝑥𝑦) = 7 + 8 → 3𝑥 = 15 → 𝑥 = 5.
➋ Підставимо 𝑥 = 5 у друге рівняння:
5 – 3 ⋅ 5 ⋅ 𝑦 = 8 → 5 – 15𝑦 = 8 → –15𝑦 = 3 → 𝑦 = –1/5.
Відповідь: (𝑥; 𝑦) = (5; –1/5). 🔺

🔍 Спосіб заміни виразів. Для розв'язування більш складних систем може використовуватись спосіб уведення заміни: виконують заміни виразів, що зустрічаються в обох рівняннях системи, і отримують більш просту систему рівнянь.

✈️ Приклад 4. Розв’яжіть систему:
{ 𝑥𝑦 + 𝑥 – 3 = 13,
{ 𝑥𝑦(𝑥 – 3) = 12.
Розв’язання:
➊ Позначимо 𝑥𝑦 = 𝑎, 𝑥 – 3 = 𝑏.
➋ Отримуємо систему:
{ 𝑎 + 𝑏 = 13,
{ 𝑎𝑏 = 12.
➌ З першого рівняння: 𝑎 = 13 – 𝑏.
➍ Підставляємо 𝑎 = 13 – 𝑏 в друге рівняння:
(13 – 𝑏)𝑏 = 12 → 13𝑏 – 𝑏² = 12 → 𝑏² – 13𝑏 + 12 = 0 → 𝑏₁ = 1, 𝑏₂ = 12.
➎ Маємо:
• для 𝑏 = 1 → 𝑎 = 12;
• для 𝑏 = 12 → 𝑎 = 1.
➏ Отримуємо системи:
1) { 𝑥𝑦 = 12,
{ 𝑥 – 3 = 1.
• з другого рівняння: 𝑥 = 1 + 3 = 4.
• в першому рівнянні: 4𝑦 = 12 → 𝑦 = 3.
2) { 𝑥𝑦 = 1,
{ 𝑥 – 3 = 12.
• з другого рівняння: 𝑥 = 12 + 3 = 15.
• в першому рівнянні: 15𝑦 = 1 → 𝑦 = 1/15.
Відповідь: (4; 3); (15; 1/15). 🔺

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Рівняння вищих порядків

Багато учнів лякаються, коли бачать кубічне рівняння або рівняння зі степенями, більшими за 2. Але насправді все набагато простіше: більшість таких рівнянь можна звести до звичних квадратних або навіть лінійних, якщо знати кілька прийомів. У цьому пості розберемо основні типи рівнянь вищих степенів і навчимось розв’язувати їх різними способами 👇

🔍 Найпростіші рівняння вищих порядків — це такі рівняння, які мають вигляд:

𝑥ⁿ = 𝑎,

де 𝑛 — натуральне число, 𝑛 > 1.

1️⃣ Якщо показник непарний, рівняння завжди має один дійсний корінь: 𝑥 = ⁿ√𝑎.
2️⃣ Якщо показник парний, тоді:
  • при 𝑎 > 0 → 𝑥 = ±ⁿ√𝑎;
  • при 𝑎 = 0 → 𝑥 = 0;
  • при 𝑎 < 0 → дійсних коренів немає.

✈️ Приклад. Розв’яжіть рівняння:
➊ 3𝑥⁵ = 96
  → 𝑥⁵ = 32 → 𝑥 = ⁵√32 → 𝑥 = 2.
  Відповідь: 𝑥 = 2. 🔺

➋ 2𝑥⁴ – 15 = 147
  → 2𝑥⁴ = 162 → 𝑥⁴ = 81 → 𝑥 = ±⁴√81 → 𝑥 = ±3.
  Відповідь: 𝑥 = ±3. 🔺

➌ (𝑥 – 1)³ = –0,064
  → 𝑥 – 1 = ³√(–0,064) → 𝑥 – 1 = –0,4 → 𝑥 = 0,6.
  Відповідь: 𝑥 = 0,6. 🔺

🔍 Розкладання на множники. Якщо рівняння можна подати у вигляді добутку, то використовуємо властивість: якщо добуток множників дорівнює нулю, то хоча б один із множників дорівнює нулю:

якщо 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) ⋅ ... = 0,
то 𝑓(𝑥) = 0, або 𝑔(𝑥) = 0, або 𝑞(𝑥) = 0, або ... .

✈️ Приклад. Розв’яжіть рівняння:
➊ 𝑥³ – 𝑥² – 6𝑥 = 0
  → 𝑥(𝑥² – 𝑥 – 6) = 0
  → 𝑥(𝑥 – 3)(𝑥 + 2) = 0
  → 𝑥 = 0, або 𝑥 – 3 = 0, або 𝑥 + 2 = 0
  → 𝑥, або 𝑥 = 3, або 𝑥 = –2
  Відповідь: 𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 3, 𝑥₃ = –2.

➋ 𝑥³ + 3𝑥² – 4𝑥 – 12 = 0
  → (𝑥³ + 3𝑥²) – (4𝑥 + 12) = 0
  → 𝑥²(𝑥 + 3) – 4(𝑥 + 3) = 0
  → (𝑥 + 3)(𝑥² – 4) = 0
  → (𝑥 + 3)(𝑥 – 2)(𝑥 + 2) = 0
  → 𝑥 + 3 = 0, або 𝑥 – 2 = 0, або 𝑥 + 2 = 0
  → 𝑥 = –3, або 𝑥 = 2, або 𝑥 = –2
  Відповідь: 𝑥₁ = –3, 𝑥₂ = 2, 𝑥₃ = –2. 🔺

🔍 Уведення заміни. Коли у рівнянні повторюється певний вираз, можна зробити заміщення: позначити його новою змінною (наприклад, 𝑡), розв’язати спрощене рівняння, а потім повернутися назад до 𝑥.

✈️ Приклад. Розв’яжіть рівняння:

➊ 𝑥⁴ – 2𝑥² – 24 = 0 (біквадратне рівняння)
 Зробимо заміну: 𝑥² = 𝑡; 𝑥⁴ = 𝑡².
 Отримаємо 𝑡² – 2𝑡 – 24 = 0.
 Знайдемо корені: 𝑡₁ = 6, 𝑡₂ = –4.
 Для 𝑡 = 6 → 𝑥² = 6 → 𝑥 = ±√6.
 Для 𝑡 = –4 → 𝑥² = –4 → немає дійсних коренів.
  Відповідь: 𝑥 = ±√6. 🔺

➋ (𝑥 – 4)⁴ – (𝑥 – 4)² – 12 = 0
 Позначимо 𝑡 = (𝑥 – 4)². Тоді 𝑡² = (𝑥 – 4)⁴.
 Маємо: 𝑡² – 𝑡 – 12 = 0 → (𝑡 – 4)(𝑡 + 3) = 0 → 𝑡₁ = 4, 𝑡₂ = –3.
 Для 𝑡 = 4 → (𝑥 – 4)² = 4 → 𝑥 – 4 = ±2 → 𝑥 = 6 або 𝑥 = 2.
 Для 𝑡 = –3 → (𝑥 – 4)² = –3 → дійсних коренів немає.
  Відповідь: 𝑥₁ = 2; 𝑥₂ = 6. 🔺

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog