⚡️ Системи рівнянь, що зводяться до розв'язання квадратних рівнянь

У математиці часто трапляються системи рівнянь, де обидва рівняння не є лінійними. Вони можуть містити добутки змінних, степені, або навіть приховані залежності. Такі системи іноді називають нелінійними або системами другого степеня.

✈️ Щоб розв’язати їх, потрібно застосовувати ті ж самі логічні прийоми, що й при роботі з лінійними системами — підстановку, додавання, або заміну виразів, — але з уважністю до можливих квадратних рівнянь, які виникають у процесі.

🔍 Спосіб підстановки. Використовується, коли легко виразити одну змінну через іншу.

✈️ Алгоритм:
1️⃣ Виразити одну змінну через іншу з одного рівняння.
2️⃣ Підставити отриманий вираз у друге рівняння.
3️⃣ Розв’язати рівняння з однією змінною (часто квадратне).
4️⃣ Підставити знайдені значення у перше рівняння, щоб знайти другу змінну.
5️⃣ Записати відповідь парами (𝑥; 𝑦).

✈️ Приклад 1. Розв’яжіть систему рівнянь:
{ 𝑥(𝑦 + 2) = 3,
{ 𝑥𝑦 = 5.
Розв’язання:
➊ З першого рівняння: 𝑥𝑦 + 2𝑥 = 3.
➋ Підставимо 𝑥𝑦 = 5 в перше рівняння → 5 + 2𝑥 = 3 → 2𝑥 = –2 → 𝑥 = –1.
➌ Підставимо 𝑥 = –1 у 𝑥𝑦 = 5 → (–1) ⋅ 𝑦 = 5 → 𝑦 = –5.
Відповідь: (𝑥; 𝑦) = (–1; –5). 🔺

✈️ Приклад 2. Розв’яжіть систему:
{ 𝑥² + 𝑦² = 10,
{ 𝑥 – 𝑦 = 2.
Розв’язання:
➊ З другого рівняння 𝑥 = 𝑦 + 2.
➋ Підставимо 𝑥 = 𝑦 + 2 в перше рівняння:
(𝑦 + 2)² + 𝑦² = 10 → 𝑦² + 4𝑦 + 4 + 𝑦² = 10 → 2𝑦² + 4𝑦 – 6 = 0 → 𝑦² + 2𝑦 – 3 = 0 → 𝑦₁ = –3, 𝑦₂ = 1.
➌ Маємо:
• для 𝑦 = –3 → 𝑥 = –1;
• для 𝑦 = 1 → 𝑥 = 3.
Відповідь: (𝑥; 𝑦) = (–1; –3) або (3; 1). 🔺

🔍 Спосіб додавання. Зручний, коли можна зробити коефіцієнти при одній зі змінних протилежними.

✈️ Алгоритм:
1️⃣ Зробити так, щоб коефіцієнти при одній змінній були однаковими.
2️⃣ Додати або відняти рівняння системи.
3️⃣ Знайти одну змінну, потім іншу.

✈️ Приклад 3. Розв’яжіть систему:
{ 2𝑥 + 3𝑥𝑦 = 7,
{ 𝑥 – 3𝑥𝑦 = 8.
Розв’язання:
➊ Додамо почленно рівняння:
(2𝑥 + 𝑥) + (3𝑥𝑦 – 3𝑥𝑦) = 7 + 8 → 3𝑥 = 15 → 𝑥 = 5.
➋ Підставимо 𝑥 = 5 у друге рівняння:
5 – 3 ⋅ 5 ⋅ 𝑦 = 8 → 5 – 15𝑦 = 8 → –15𝑦 = 3 → 𝑦 = –1/5.
Відповідь: (𝑥; 𝑦) = (5; –1/5). 🔺

🔍 Спосіб заміни виразів. Для розв'язування більш складних систем може використовуватись спосіб уведення заміни: виконують заміни виразів, що зустрічаються в обох рівняннях системи, і отримують більш просту систему рівнянь.

✈️ Приклад 4. Розв’яжіть систему:
{ 𝑥𝑦 + 𝑥 – 3 = 13,
{ 𝑥𝑦(𝑥 – 3) = 12.
Розв’язання:
➊ Позначимо 𝑥𝑦 = 𝑎, 𝑥 – 3 = 𝑏.
➋ Отримуємо систему:
{ 𝑎 + 𝑏 = 13,
{ 𝑎𝑏 = 12.
➌ З першого рівняння: 𝑎 = 13 – 𝑏.
➍ Підставляємо 𝑎 = 13 – 𝑏 в друге рівняння:
(13 – 𝑏)𝑏 = 12 → 13𝑏 – 𝑏² = 12 → 𝑏² – 13𝑏 + 12 = 0 → 𝑏₁ = 1, 𝑏₂ = 12.
➎ Маємо:
• для 𝑏 = 1 → 𝑎 = 12;
• для 𝑏 = 12 → 𝑎 = 1.
➏ Отримуємо системи:
1) { 𝑥𝑦 = 12,
{ 𝑥 – 3 = 1.
• з другого рівняння: 𝑥 = 1 + 3 = 4.
• в першому рівнянні: 4𝑦 = 12 → 𝑦 = 3.
2) { 𝑥𝑦 = 1,
{ 𝑥 – 3 = 12.
• з другого рівняння: 𝑥 = 12 + 3 = 15.
• в першому рівнянні: 15𝑦 = 1 → 𝑦 = 1/15.
Відповідь: (4; 3); (15; 1/15). 🔺

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog