💥 Розкладання квадратного тричлена на множники

Коли бачимо вираз на кшталт 𝑥² − 3𝑥 − 10, ми можемо не лише розв’язати рівняння, а й розкласти цей вираз на множники.
Це дуже зручно — особливо, коли потрібно спростити дріб або скоротити складний вираз.

✈️ Квадратний тричлен — це вираз вигляду

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐,

де 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0.
✈️ Приклад: 2𝑥² − 5𝑥 − 3 — квадратний тричлен.

🔍 Розкладання квадратного тричлена на множники. Якщо відомі корені 𝑥₁ і 𝑥₂ рівняння 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, то сам тричлен можна записати у вигляді:

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂)

✈️ Алгоритм розкладання:
1️⃣ Знайдіть корені 𝑥₁ і 𝑥₂ квадратного рівняння 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
2️⃣ Якщо корені різні, запишіть 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂).
3️⃣ Якщо рівняння має один корінь 𝑥₀, запишіть 𝑎(𝑥 − 𝑥₀)².
4️⃣ Якщо коренів немає (𝐷 < 0), то на лінійні множники розкласти не можна.

✈️ Приклади виконання завдань:

🔍 Розкладіть многочлен 𝑎² − 𝑎 − 20 на множники.
Розв’язуємо рівняння 𝑎² − 𝑎 − 20 = 0
→ за т. Вієта: 𝑥₁ ⋅ 𝑥₂ = −20, 𝑥₁ + 𝑥₂ = 1
→ корені: 𝑎₁ = 5, 𝑎₂ = −4
Відповідь: 𝑎² − 𝑎 − 20 = (𝑎 − 5)(𝑎 + 4) 🔺

🔍 Розкладіть многочлен 3𝑥² + 𝑥 − 2 на множники.
3𝑥² + 𝑥 − 2 = 0
→ 𝐷 = 1² − 4 ⋅ 3 ⋅ (− 2) = 1 + 24 = 25.
→ 𝑥₁ = (−1 + 5)/6 = 2/3,
→ 𝑥₂ = (−1 − 5)/6 = −1.
Відповідь: 3𝑥² + 𝑥 − 2 = 3(𝑥 − 2/3)(𝑥 + 1) = (3𝑥 − 2)(𝑥 + 1) 🔺

🔍 Скоротіть дріб (𝑝² + 9𝑝 + 18)/(𝑝² + 4𝑝 − 12).
→ 𝑝² + 9𝑝 + 18 = (𝑝 + 3)(𝑝 + 6)
→ 𝑝² + 4𝑝 − 12 = (𝑝 + 6)(𝑝 − 2)
Скорочуємо дріб (𝑝 + 3)(𝑝 + 6)/(𝑝 + 6)(𝑝 − 2) на (𝑝 + 6).
Відповідь: (𝑝 + 3)/(𝑝 − 2) 🔺

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Системи рівнянь, що зводяться до розв'язання квадратних рівнянь

У математиці часто трапляються системи рівнянь, де обидва рівняння не є лінійними. Вони можуть містити добутки змінних, степені, або навіть приховані залежності. Такі системи іноді називають нелінійними або системами другого степеня.

✈️ Щоб розв’язати їх, потрібно застосовувати ті ж самі логічні прийоми, що й при роботі з лінійними системами — підстановку, додавання, або заміну виразів, — але з уважністю до можливих квадратних рівнянь, які виникають у процесі.

🔍 Спосіб підстановки. Використовується, коли легко виразити одну змінну через іншу.

✈️ Алгоритм:
1️⃣ Виразити одну змінну через іншу з одного рівняння.
2️⃣ Підставити отриманий вираз у друге рівняння.
3️⃣ Розв’язати рівняння з однією змінною (часто квадратне).
4️⃣ Підставити знайдені значення у перше рівняння, щоб знайти другу змінну.
5️⃣ Записати відповідь парами (𝑥; 𝑦).

✈️ Приклад 1. Розв’яжіть систему рівнянь:
{ 𝑥(𝑦 + 2) = 3,
{ 𝑥𝑦 = 5.
Розв’язання:
➊ З першого рівняння: 𝑥𝑦 + 2𝑥 = 3.
➋ Підставимо 𝑥𝑦 = 5 в перше рівняння → 5 + 2𝑥 = 3 → 2𝑥 = –2 → 𝑥 = –1.
➌ Підставимо 𝑥 = –1 у 𝑥𝑦 = 5 → (–1) ⋅ 𝑦 = 5 → 𝑦 = –5.
Відповідь: (𝑥; 𝑦) = (–1; –5). 🔺

✈️ Приклад 2. Розв’яжіть систему:
{ 𝑥² + 𝑦² = 10,
{ 𝑥 – 𝑦 = 2.
Розв’язання:
➊ З другого рівняння 𝑥 = 𝑦 + 2.
➋ Підставимо 𝑥 = 𝑦 + 2 в перше рівняння:
(𝑦 + 2)² + 𝑦² = 10 → 𝑦² + 4𝑦 + 4 + 𝑦² = 10 → 2𝑦² + 4𝑦 – 6 = 0 → 𝑦² + 2𝑦 – 3 = 0 → 𝑦₁ = –3, 𝑦₂ = 1.
➌ Маємо:
• для 𝑦 = –3 → 𝑥 = –1;
• для 𝑦 = 1 → 𝑥 = 3.
Відповідь: (𝑥; 𝑦) = (–1; –3) або (3; 1). 🔺

🔍 Спосіб додавання. Зручний, коли можна зробити коефіцієнти при одній зі змінних протилежними.

✈️ Алгоритм:
1️⃣ Зробити так, щоб коефіцієнти при одній змінній були однаковими.
2️⃣ Додати або відняти рівняння системи.
3️⃣ Знайти одну змінну, потім іншу.

✈️ Приклад 3. Розв’яжіть систему:
{ 2𝑥 + 3𝑥𝑦 = 7,
{ 𝑥 – 3𝑥𝑦 = 8.
Розв’язання:
➊ Додамо почленно рівняння:
(2𝑥 + 𝑥) + (3𝑥𝑦 – 3𝑥𝑦) = 7 + 8 → 3𝑥 = 15 → 𝑥 = 5.
➋ Підставимо 𝑥 = 5 у друге рівняння:
5 – 3 ⋅ 5 ⋅ 𝑦 = 8 → 5 – 15𝑦 = 8 → –15𝑦 = 3 → 𝑦 = –1/5.
Відповідь: (𝑥; 𝑦) = (5; –1/5). 🔺

🔍 Спосіб заміни виразів. Для розв'язування більш складних систем може використовуватись спосіб уведення заміни: виконують заміни виразів, що зустрічаються в обох рівняннях системи, і отримують більш просту систему рівнянь.

✈️ Приклад 4. Розв’яжіть систему:
{ 𝑥𝑦 + 𝑥 – 3 = 13,
{ 𝑥𝑦(𝑥 – 3) = 12.
Розв’язання:
➊ Позначимо 𝑥𝑦 = 𝑎, 𝑥 – 3 = 𝑏.
➋ Отримуємо систему:
{ 𝑎 + 𝑏 = 13,
{ 𝑎𝑏 = 12.
➌ З першого рівняння: 𝑎 = 13 – 𝑏.
➍ Підставляємо 𝑎 = 13 – 𝑏 в друге рівняння:
(13 – 𝑏)𝑏 = 12 → 13𝑏 – 𝑏² = 12 → 𝑏² – 13𝑏 + 12 = 0 → 𝑏₁ = 1, 𝑏₂ = 12.
➎ Маємо:
• для 𝑏 = 1 → 𝑎 = 12;
• для 𝑏 = 12 → 𝑎 = 1.
➏ Отримуємо системи:
1) { 𝑥𝑦 = 12,
{ 𝑥 – 3 = 1.
• з другого рівняння: 𝑥 = 1 + 3 = 4.
• в першому рівнянні: 4𝑦 = 12 → 𝑦 = 3.
2) { 𝑥𝑦 = 1,
{ 𝑥 – 3 = 12.
• з другого рівняння: 𝑥 = 12 + 3 = 15.
• в першому рівнянні: 15𝑦 = 1 → 𝑦 = 1/15.
Відповідь: (4; 3); (15; 1/15). 🔺

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog