💥 Розкладання квадратного тричлена на множники

Коли бачимо вираз на кшталт 𝑥² − 3𝑥 − 10, ми можемо не лише розв’язати рівняння, а й розкласти цей вираз на множники.
Це дуже зручно — особливо, коли потрібно спростити дріб або скоротити складний вираз.

✈️ Квадратний тричлен — це вираз вигляду

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐,

де 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0.
✈️ Приклад: 2𝑥² − 5𝑥 − 3 — квадратний тричлен.

🔍 Розкладання квадратного тричлена на множники. Якщо відомі корені 𝑥₁ і 𝑥₂ рівняння 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, то сам тричлен можна записати у вигляді:

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂)

✈️ Алгоритм розкладання:
1️⃣ Знайдіть корені 𝑥₁ і 𝑥₂ квадратного рівняння 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
2️⃣ Якщо корені різні, запишіть 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂).
3️⃣ Якщо рівняння має один корінь 𝑥₀, запишіть 𝑎(𝑥 − 𝑥₀)².
4️⃣ Якщо коренів немає (𝐷 < 0), то на лінійні множники розкласти не можна.

✈️ Приклади виконання завдань:

🔍 Розкладіть многочлен 𝑎² − 𝑎 − 20 на множники.
Розв’язуємо рівняння 𝑎² − 𝑎 − 20 = 0
→ за т. Вієта: 𝑥₁ ⋅ 𝑥₂ = −20, 𝑥₁ + 𝑥₂ = 1
→ корені: 𝑎₁ = 5, 𝑎₂ = −4
Відповідь: 𝑎² − 𝑎 − 20 = (𝑎 − 5)(𝑎 + 4) 🔺

🔍 Розкладіть многочлен 3𝑥² + 𝑥 − 2 на множники.
3𝑥² + 𝑥 − 2 = 0
→ 𝐷 = 1² − 4 ⋅ 3 ⋅ (− 2) = 1 + 24 = 25.
→ 𝑥₁ = (−1 + 5)/6 = 2/3,
→ 𝑥₂ = (−1 − 5)/6 = −1.
Відповідь: 3𝑥² + 𝑥 − 2 = 3(𝑥 − 2/3)(𝑥 + 1) = (3𝑥 − 2)(𝑥 + 1) 🔺

🔍 Скоротіть дріб (𝑝² + 9𝑝 + 18)/(𝑝² + 4𝑝 − 12).
→ 𝑝² + 9𝑝 + 18 = (𝑝 + 3)(𝑝 + 6)
→ 𝑝² + 4𝑝 − 12 = (𝑝 + 6)(𝑝 − 2)
Скорочуємо дріб (𝑝 + 3)(𝑝 + 6)/(𝑝 + 6)(𝑝 − 2) на (𝑝 + 6).
Відповідь: (𝑝 + 3)/(𝑝 − 2) 🔺

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog