🌟 Теорема Вієта

Після того, як ти навчився розв’язувати квадратні рівняння за формулою дискримінанта, настав час зробити наступний крок — опанувати теорему Вієта. Вона дозволяє знаходити корені «на око» — без жодних обчислень дискримінанта. І це один із найзручніших прийомів для швидкого розв’язування рівнянь 💪

🔍 Зведене квадратне рівняння — це рівняння виду

𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0,

де 𝑝 і 𝑞 — деякі числа.

✈️ Приклад: 𝑥² − 7𝑥 + 10 = 0 — зведене квадратне рівняння.

🔍 Теорема Вієта: якщо 𝑥₁ і 𝑥₂ — корені рівняння 𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0, то:

сума коренів: 𝑥₁ + 𝑥₂ = −𝑝;
добуток коренів: 𝑥₁ ⋅ 𝑥₂ = 𝑞.

✈️ Приклад: для рівняння 𝑥² − 7𝑥 + 10 = 0:
🔍 𝑥₁ + 𝑥₂ = −(−7) = 7,
🔍 𝑥₁ ⋅ 𝑥₂ = 10

🔍 Теорема Вієта для повного квадратного рівняння: якщо рівняння має вигляд 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, то

𝑥₁ + 𝑥₂ = −𝑏/𝑎;
𝑥₁ ⋅ 𝑥₂ = 𝑐/𝑎.

✈️ Приклад: для рівняння 3𝑥² − 12𝑥 + 8 = 0:
🔍 𝑥₁ + 𝑥₂ = 12/3 = 4,
🔍 𝑥₁ ⋅ 𝑥₂ = 8/3.

✈️ Теорема, обернена до теореми Вієта: якщо відомо, що числа 𝑥₁ і 𝑥₂ такі, що 𝑥₁ + 𝑥₂ = −𝑝 і 𝑥₁ ⋅ 𝑥₂ = 𝑞, то вони є коренями рівняння 𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0.

✈️ Приклад. Нехай 𝑥₁ = 4, 𝑥₂ = −1. Тоді 𝑥₁ + 𝑥₂ = 4 + (−1) = 3 і 𝑥₁ ⋅ 𝑥₂ = 4 ⋅ (−1) = −4. Складемо рівняння: 𝑥² − 3𝑥 − 4 = 0.

⚠️ Важливо: теорема Вієта працює лише тоді, коли рівняння має дійсні корені, тобто коли 𝐷 ⩾ 0.

✈️ Алгоритм застосування теореми Вієта:
1️⃣ Запишіть рівняння у вигляді 𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0.
2️⃣ Знайдіть 𝑝 і 𝑞.
3️⃣ Підберіть два числа, добуток яких дорівнює 𝑞, а сума дорівнює (−𝑝).
4️⃣ Запишіть корені.
5️⃣ Перевірте, чи рівняння виконується для знайдених чисел.

✈️ Приклади застосування теореми Вієта:

1️⃣ 𝑥² − 8𝑥 + 15 = 0
{ 𝑥₁ + 𝑥₂ = 8,
{ 𝑥₁ ⋅ 𝑥₂ = 15.
Відповідь: 𝑥₁ = 3, 𝑥₂ = 5 🔺

2️⃣ 𝑥² − 2𝑥 − 8 = 0
{ 𝑥₁ + 𝑥₂ = 2,
{ 𝑥₁ ⋅ 𝑥₂ = −8.
Відповідь: 𝑥₁ = −2, 𝑥₂ = 4 🔺

3️⃣ 𝑥² + 6𝑥 − 7 = 0
{ 𝑥₁ + 𝑥₂ = −6,
{ 𝑥₁ ⋅ 𝑥₂ = −7.
Відповідь: 𝑥₁ = −7, 𝑥₂ = 1 🔺

4️⃣ 𝑥² + 9𝑥 + 18 = 0
{ 𝑥₁ + 𝑥₂ = −9,
{ 𝑥₁ ⋅ 𝑥₂ = 18.
Відповідь: 𝑥₁ = −6, 𝑥₂ = −3 🔺

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog