⚡️ Квадратні рівняння

Квадратні рівняння — одна з найважливіших тем шкільної математики. Вони часто з’являються у завданнях НМТ та в подальших темах. Тому сьогодні розберімо всі типи квадратних рівнянь та основні способи їх розв’язання 👇

🔍 Квадратне рівняння — це рівняння виду

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0,

де 𝑎, 𝑏, 𝑐 — дійсні числа, 𝑎 ≠ 0.

🔍 Види квадратних рівнянь

1️⃣ Неповні квадратні рівняння — це квадратні рівняння, у яких бракує одного з коефіцієнтів 𝑏 або 𝑐. Вони бувають двох типів:

🔍 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 = 0 → 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0  → 𝑥 = 0 або 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0;
🔍 𝑎𝑥² + 𝑐 = 0 → 𝑥² = −𝑐/𝑎.

✈️ Приклади:
🔍 𝑥² − 8𝑥 = 0 → 𝑥(𝑥 − 8) = 0 → 𝑥 = 0 або 𝑥 − 8 = 0 → 𝑥₁ = 0 або 𝑥₂ = 8.
🔍 12𝑥² − 3 = 0 → 𝑥² = 1/4 → 𝑥₁,₂ = ±√(1/4) = ±1/2.
🔍 5𝑥² + 20 = 0 → 𝑥² = −4 → розв’язків немає (бо 𝑥² ≥ 0).

2️⃣ Повні квадратні рівняння — це рівняння виду:

 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0,

де 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0.
✈️ Приклади:
🔍𝑥² − 3𝑥 + 2 = 0;
🔍2𝑥² + 5𝑥 − 3 = 0.

✈️ Дискримінант. Щоб знайти корені рівняння 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, використовують спеціальний вираз — дискримінант:

𝐷 = 𝑏² − 4𝑎𝑐

Кількість коренів квадратного рівняння залежить від його значення:
🔍якщо 𝐷 > 0 → два різних корені;
🔍якщо 𝐷 = 0 → один корінь;
🔍якщо 𝐷 < 0 → дійсних коренів немає.

✈️ Формула коренів квадратного рівняння:

𝑥₁,₂ = (−𝑏 ± √𝐷) / (2𝑎)

✈️ Приклади:
🔍 3𝑥² − 5𝑥 + 2 = 0
𝐷 = (−5)² − 4 · 3 · 2 = 25 − 24 = 1
𝑥₁ = (−(−5) + √1) / (2 · 3) = (5 + 1)/6 = 1
𝑥₂ = (−(−5) − √1) / (2 · 3) = (5 − 1)/6 = 2/3
Відповідь: 𝑥₁ = 1, 𝑥₂ = 2/3 🔺

🔍 𝑥² + 6𝑥 + 9 = 0
𝐷 = 6² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0
𝑥 = (−6 ± √0) / (2 · 1) = −6/2 = −3
Відповідь: 𝑥 = −3 🔺

🔍 4𝑥² − 8𝑥 + 5 = 0
𝐷 = (−8)² − 4 · 4 · 5 = 64 − 80 = −16 < 0.
Відповідь: дійсних коренів немає (бо підкореневий вираз від’ємний). 🔺

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog